udowodnij Jenny: Łatwe zadanka dla Wszystkich , którzy się "nudzą" 1/ udowodnij,że zachodzi nierówność dla liczb rzeczywistych a²+b²+c² +3 ≥2(a+b+c) 2/ wykaż,że dla n€N liczba n²+3n −4 jest parzysta 3/ wykaż ,że dla a€C liczba: a²+a+1 jest nieparzysta 4/ wykaż,że :

	√6+√2
a/ cos50*cos55o*cos65o=
	16

b/ √3*ctg20^o − 4 cos20^o = 1 P.S Jack ..... daj się wykazać "młodym"

Lucyna: jak dla młodych to ja też odpadam

Jenny:

Kejt: Godzio wyjechał... to dla mnie wszystko?

Jenny: tak

Kejt: heh... gdyby nie te 12 lektur do przeczytania to bardzo chętnie.. pomyślę cuś.

Basia: Eta znów kpinki sobie urządza, ale to rzeczywiście zadania dla młodych. Starszym (Tobie też Eto) polecam to: https://matematykaszkolna.pl/forum/54627.html Pozdrawiam

Jack: ..tylko ze ja czuje sie młodo duchem i ciałem ale na razie zostawię. Tyczasem moje zadanie wciaż czeka na rozwiązanie... (ja po 1.06 do niego usiądę na dlużej. Tylko że moze nie będę miał juz czego rozwiązywać.. )

Mateusz: Wprawdzie je nie taki młody (39 lat) ale pokusze sie o zrobienie zadania 2 zrobie je indukcyjnie szybciutko sprawdzam dla n = 1 tak dla n = 1 ta liczba jest parzysta teraz dla dowolnej (n+1) (n+1)²+3(n+1)−4 = n²+2n*1+1²=> n²+2n+1+3n+3−4 zgodnie z załozeniem indukcyjnym ta liczba jest parzysta. Chyba dobrze zrobione z taką matematyką miałem stycznosc 21 lat temu

AS: Do Lucyny − dlaczego odpadam. Człowiek jest tak długo młodym jak długo młodym się czuje. zad 2 n² + 3*n − 4 = n*(n + 3) − 4 przyjmując n = 2*k (k ∊ N) mamy 2*k*(2*k + 3) − 2*k = 2*reszta a to oznacza,że jest parzysta przyjmując n = 2*k + 1 mamy (2*k + 1)*(2*k + 1 + 3) − 4 też parzysta bo całość jest podzielna przez 2 zad 3 a² + a + 1 = a*(a + 1) + 1 przyjmując a = 2*k (k ∊ N) mamy 2*k*(2*k + 1) + 1 Liczba 2*k*(2*k + 1) jest parzysta bo jest podzielna przez 2.po dodaniu 1 otrzymamy liczbę następną czyli nieparzystą. przyjmując = 2*k + 1 (liczba nieparzysta) mamy (2*k + 1)*(2*k + 2) + 1 = 2*(2*k + 1)*(k + 1) + 1 Liczba 2*(2*k + 1)*(k + 1) jest parzysta bo jest podzielna przez 2.po dodaniu 1 otrzymamy liczbę następną czyli nieparzystą.

AS: korekta do zad 2 − winno być ... mamy 2*k*(2*k + 3) − 4 = 2*reszta

bzzz: AS dziękuję bardzo, ja czuję się baaardzo młodo, ciągle z trudem przychodzi mi uwierzyć, że są osoby młodsze ode mnie ale odpuściłam zadania, których rozwiązanie potrafię podać z biegu, bo wiem że ich rozwiązania nie są takie oczywiste dla kogoś kto nie studiował/studiuje jeszcze Pozdrawiam Lucyna. co do zad.2 to ja bym to rozpisała w ten sposób: n² + 3n − 4 = (n + 4)(n − 1) jeżeli n jest parzyste to n+4 też, więc iloczyn również jeżeli n jest nieparzyste to n−1 jest parzyste, zatem iloczyn też

Jenny: zad3) a(a+1)+1 ....... a, a+1 −−− kolejne liczby całkowite, ich iloczyn jest zawsze parzysty zatem liczba parzysta +1 = l. nieparzysta zad2) sposób podany przez bzzz jest najprostszy , co kończy dowód .

Jenny: zad 1/ poprawka zapisu a²+b²+c² ≥ ab+ac+bc

Lucyna: a co poprzedni zapis był za łatwy?

Lucyna: a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc

a

b

a

c

b

c

(

−

)2 + (

−

)2 + (

−

)2 ≥ 0

√2

√2

√2

√2

√2

√2

ckd.

Lucyna: zadanie 1 w swej poprzedniej wersji: a² + b² + c² + 3 ≥ 2(a + b +c) a² + b² + c² + 3 − 2a − 2b − 2c ≥ 0 (a − 1)² + (b − 1)² + (c − 1)² ≥ 0 ckd

Jenny: a²+b²+c² ≥ab+ac+bc / *2 (a−b)² + ( a−c)² + ( b−c)² ≥0 c.n.u Pozdrawiam Lucynę

Lucyna: dzięki Eto równeż Zdrowia Ci życzę, cobyś mogła nam podawać takich zadanek na pęczki ...jeśli chodzi o trygonometrię to jak nikt potrafisz mi udowodnić, że jednak nie umiem jej liczyć ale ciągle się staram

Jenny: Hehe.... nie udawaj to zadanie dla licealistów! Dzięki za życzenia i wzajemnie duuuuuużo zdrowia

Lucyna: łoooo matko udało mi się udowodnić tą tożsamość z podpunktu a) ale zajęło mi tyle miejsca, że nie pokuszę się o przepisanie, bo na pewno jest jakaś krótsza wersja, więc się nie będę kompromitować

Lucyna: a teraz b √3ctg20 − 4cos20 = 1 / * sin20 √3cos20 − 2sin40 = sin20 / : 2

√3		1
	cos20 − sin40 =		sin20
2		2

cos30cos20 − sin30sin20 = sin40 / {cosαcosβ − sinαsinβ = cos(α+β)} cos50 = sin40

	π
cos(		− 40) = sin40
	2

sin40 = sin40 cdn

b.: nie rozumiem przejscia z 3. do 4. wiersza powyzej: jak z (1/2)sin20 zrobil sie sin40?

Jack: sin40 został przerzucony z lewej strony równania na prawą.

R.W.16l: są wakacje... odpocznijcie

Jack: lepiej nie powtarzaj tego przy Lucynie

bzzz: Jack na dzisiaj ogłaszam dyspensę

	1
Co do pytania b. przejście nie jest widoczne, bo jednocześnie zamieniłam		na sin30 i
	2

	√3
		na cos30, ale tak jak pisze Jack sin40 został przerzucony z drugiej strony
	2

równania Pozdrawiam wszystkich Lucyna.

Jack:

Eta: zad4/ a) L= cos5^o*¹₂*2cos65^o*cos55^o= ¹₂*cos5^o(cos120^o+cos10^o)= =¹₂cos5^o(−¹₂+cos10^o)= ¹₂cos5^o*cos10^o −¹₄cos5^o= = ¹₄(cos15^o+cos5^o)− ¹₄cos5^o= cos15^o= ¹₄cos(60^o−45^o)=

	√6+√2
= 14(12*√22+√22*√32)=
	16