zad matthew: Cześć, mam takie zadanie: Dana jest funkcja f określona wzorem: f(x) =cos2x + 4cosx + 3 oblicz f(π) zacząłem tak: f(π) =cos2π + 4cosπ + 3 cos2π = cos(2 * 180^o) = cos360^o = cos(180^o + 180^o) = cos180^o = = cos(180^o + 0^o) = cos0^o = 1 f(π) = 1 + 4cosπ + 3 i dalej nie wiem co zrobić z tym wyrażeniem: 4cosπ + 3 Proszę o pomoc

Jack: cos(π) = −1

matthew: a faktycznie bo cos(180^o + α) = − cosα ok, ale co dalej....

Jack: f(x) =cos2x + 4cosx + 3 f(π)=cos2π+4cosπ +3=... cos2π= 1 cosπ= −1 Tylko podstawić... Właściwie już masz wszystko policzone, tylko się przyjrzyj temu.

Jack: PS. Wartości można odczytywać z wykresu, nie trzeba nawet specjalnie przekształcać.

matthew: ... no to nie rozumiem... wydawało mi sie, ze sie pomyliłem w obliczeniach... tak jak napisałem cos(180^o + α) = − cosα "tak mam we wzorach nalpisane..." , wiec dlaczego cos2π = 1 a nie − 1 w tym drugim przypadku tez powinno być cos π = − 1 ...no bo przecież cosπ to nic innego jak cos(180^o + 0^o) = cos0^o, a to sie rowna − 1.... to jak to w koncu jest? Dziekuje za odpowiedz

matthew: ajc juz wiem, gdzie blad zrobilem...

Jack: cos0^o=1, to po pierwsze. Resztę masz tu https://matematykaszkolna.pl/strona/427.html cos(180^o+α)=−cosα to prawda ale cos2π=cos(180^o+180^o)=−cos180^o=−(cos180^o+0^o)=cos0^o=1

Jack: oki

matthew: chyba powinno być tak: cos2π = cos(2*180^o) = cos360^o = cos(180^o + 180^o) = −cos180^o = = − cos(180^o + 0^o) minus sie redukuje bo − i − daje + dlatego wychodzi cos0^o = 1

matthew: mam jeszcze takei zadanie.... wydawało mi sie proste, a jednak chyba robie cos nie tak... Dane są funkcje f(x) = √9−8x−x² i g(x) = 3x − 3 mam rozwiąza równanie f(x) = g(x) zrobiłem tak: √9−8x−x² = 3x − 3 / * ()² 9−8x−x² = 9x² − 18x + 9 −10x² + 10x = o −x(10x − 10) = 0 x = 0 x = 1 tylko, że w odpowiedzi mam x = 1... Proszę o pomoc

matthew: Mam jeszcze podpunkt b) z pierwszego zadania... myslalem, ze juz sobie poradze... jest funkcja: f(x) =cos2x + 4cosx + 3 mam wyznaczyć zbior m. zerowych funkcji f zacząłem tak: cos2x = 0

	π		1
2x =		+ kπ/*
	2		2

	π		1
x =		+		kπ
	4		2

i dalej nie wiem... proszę o pomoc...

Wojciech: czyli cos2x + 4cosx = −3 tak? cos2x = 2cosx − 1 delta i tak dalej.. nawet nie, bez delty

matthew: no ok. masz racje, jezeli szukam miejsc zerowych funkcji, to powinienem ją przyrównać do zera, więc mam tak: cos2x + 4cosx + 3 = 0 cos2x + 4cosx = − 3..... cos2x = − 4cosx − 3 ale skąd wyszło Ci, że cos2x = 2cosx − 1?

matthew: ponawiam...

Godzio: cos2x = cos²x − sin²x = 2cos²x −1 2cos²x + 4cosx +2 = 0 t = cosx t ∊<−1,1> 2t² + 4t + 2 = 0 t² + 2t + 1 = 0 (t+1)² t = −1 cosx = −1 x = π + 2kπ

matthew: Dzięki Godzio Bardzo prosze o sprawdzenie zadania z tą funkcją f(x) = √9−8x−x² i g(x) = 3x − 3 .... jest powyżej.... Z góry dziękuję

Godzio: Sam nie za bardzo wiem dlaczego taka odpowiedź. Po pierwsze trzeba wyznaczyć dziedzinę ale w sumie to ona i tak nie wyklucza tego zera hmmm

Godzio: na pewno dobrze przepisany przykład ?

xter: dobrze robisz, podstaw 0 za x , i podstaw 1 . W obydwu przypadkach zachodzi taka rownosc, najwyrazniej jest jakis blad w odpowiedziach.

matthew: przykład jest w porządku... może rzeczywiście jest bład...

Bogdan: Nie ma błędu w odpowiedzi do równania √9 − 8x − x² = 3x − 3. Jedynym rozwiązaniem jest liczba 1.

matthew: Czyli przykład jest źle rozwiązany?

Bogdan: Jaka jest wartość funkcji f(x) w punkcie x = 0 oraz w punkcie x = 1 ? Jaka jest wartość funkcji g(x) w punkcie x = 0 oraz w punkcie x = 1 ? f(0) = ?, g(0) = ? f(1) = ?, g(1) = ?

matthew: f(0)= 3 f(1) = 0 g(0) = −3 g(1) = 0 g(x) = f(x) wiec faktycznie tylko jedynka jest odpowiedzią poprawną dziekuje Mam jeszcze takie zadanie: tg110^o * tg 200^o − 2cos2x = 0 zacząłem tak: 2cos2x = 2(cos²x − sin²x) = 2(cos²x + cos^x − 1) = 2(2cos²x − 1) = 4cos²x − 2 tg110^o * tg 200^o − ( 4cos²x − 2) .... i nie wiem co dalej Proszę o pomoc...

matthew: probowałem przekształcać jakoś te tangensy: tg110^o = tg(180^o − 70^o) = −tg70^o tg200^o = tg(180^o + 20^o) = tg20^o ale nie wiem co dalej z nimi zrobic...

Jack: tg20⁰=ctg70^o.

Eta: −tg70^o = −tg( 90^o−20^o) +ctg20^o tg20^o*ctg20^o=1

Eta: poprawiam zapis −tg70^o= ctg20^o

Jack: Nie mogą mieć przeciwnych znaków tg i ctg w tej samej ćwiartce. Powinno być: −tg70^o=−ctg20^o.

matthew: wiecie co....... nie rozumiem tego tzn wiem, ze tg i ctg są sobie przeciwne, chociażby patrząc na najprostrze wartości trygonometryczne. Wiem np., ze tg 60^o = ctg 30^o ale skad do jasnej anielki wiecie, ze tg 70^o = ctg 20^o... a może tg70^o = ctg30^o... hmm? dziekuje za odpowiedzi

Jack: są odwrotne, nie przeciwne. jest taki wzor: tgα=ctg(90^o−α) w każdym trójkącie prostokątnych to zauważysz.

matthew: a no tak, mam taki wzor mam pare takich wzorow, ale do tej pory z nich nie musialem korzystac... ech

Eta: No tak ... nie zauważzyłam ,że nie napisałam minusa ....

Jack: PS. za często stosujesz wzory, gdzie albo mozesz odczytac z wykresu albo zwyczajnie podstawić. Ten wzór na tg jest czesto stosowany, np Uzasadnij, że jeśli a_n=tg n^o, to a₁*a₂*...*a₈₈*a₈₉=1

matthew: ok. teraz złożmy to w jakąś ładną całość wiem już, ze −tg70^o = −tg(90^o − 20^o) = −ctg 20^o rozprawiliśmy się już z tg70^o z tg20^o nie musimy nic robić ponieważ mamy ctg20^o, które wyszlo nam z tg70^o domyślam się, ze zrobiliscie to w taki sposob, zeby po wymnożeniu tg20^o * ctg20 = 1, ale jak to jest możliwe? na to tez jest jakiś wzór?

Godzio: tgx * ctgx = 1 tg110^o * tg 200^o − ( 4cos²x − 2) = 0 ctg20 * tg20 − 4cos²x + 2 = 0 −4cos²x + 3 = 0

	3
cos2x =
	4

	√3		√3
cosx =		v cosx = −
	2		2

Godzio: dalej sobie poradzisz ?

Eta:

	sinα		cosα
tgα*ctgα=		*		=1
	cosα		sinα

matthew: mysle, ze tak − tg70^o = −ctg20^o dlaczego napisałeś: ctg20 * tg20 − 4cos2x + 2 = 0 ?

Godzio: a rzeczywiście sorki −ctg20 * tg20 − 4cos²x + 2 = 0 −4cos²x +1 = 0

	1
cos2x =
	4

	1		1
cosx =		v cosx = −
	2		2

matthew: aha ja cały czas patrzylem na stopnie. ok juz wiem z czego wynikla ta jedynka, dzieki

Eta: Można dalej rozwiązać tak : 1 −2cos2x=0 => cos2x = ¹₂ 2x = ^π₃ +2kπ v 2x = −^π₃+2kπ , k€C x= ^π₆+k*π v x = −^π₆+k*π , k€C

matthew:

	π		π
Eta w odpowiedzi jest, ze x =		+ 2kπ ∨ x = −		+ 2kπ
	3		3

	1
a dla cosx = −		rozwiazania nie istnieją.... mnie tez tak wyszło
	2

Mam jeszcze takie zadanie.... Na bokach AB, BC, CA trójkąta równobocznego ABC o boku długości a obrano odpowiednio punkty K, L i M w taki sposób, ze |AK| : |KB| = 3:1, |BL| : |LC| = 3:1, |CM| : |MA| = 2:2. Oblicz pole trojkąta KLM

	|AK|		|BL|		|CM|
Jezeli jest to Δ rownoboczny, to		=		=
	|KB|		|LC|		|MA|

Proszę o pomoc

matthew: Chciałem sie też zapytać o jedną rzecz... jezeli kolo jest zamalowane od srodka tzn ze (x − x₁)² + (y − y₁)² < r ? a jak kolo jest pusta, natomiast przestrzen dookola niego jest pelna to: (x − x₁)² + (y − y₁)² > r ? Eta mowilaś mi kiedyś o tym ... ale zapomniałem, musze sobie to raz na zawsze zapamietac... ech

Jack: zapamiętaj sobie taką interepretację tej nierówności 1)" odległość punktów od środka okręgu O(x₁,y₁) jest MNIEJSZA < od promienia " jasne więc że chodzi o to co w środku. 2)" odległość punktów od środka okręgu O(x₁,y₁) jest WIĘKSZA > od promienia " tutaj chodzi punkty daleeeko od środka ,czyli punkty na zewnątrz.