proszę o rozwiązanie anna: rozwiąż równanie sin²(3x) = 4sin²(2x)*cos²x − sin²x

ite: wskazówka: − lewą stronę równania można przekształcić do postaci sin²(x)(4*cos²(x)−1)² − prawą do postaci sin²(x)(4*cos²(x)−1)(4*cos²(x)+1)

anna: z jakiego wzoru rozpisano sin²(3x)

.: Możesz rozpisać że wzoru na sin(a + b) Przyjmując a = 2x, b = x

Mariusz:

	1
sin2(3x) =		*2sin2(3x)
	2

	1
sin2(3x) =		(sin2(3x)+sin2(3x))
	2

	1
sin2(3x) =		(sin2(3x)+1−cos2(3x))
	2

	1
sin2(3x) =		(1−(cos2(3x)−sin2(3x)))
	2

	1
sin2(3x) =		(1−cos(6x))
	2

https://matematykaszkolna.pl/forum/419490.html W powyższym wątku próbowałem wyprowadzić wzór na współczynniki wielomianu który mógłby się tutaj przydać Została mi do policzenia suma pozwalająca wyznaczyć współczynnik wiodący Niestety nie mam pomysłu na tę sumę a to co Adam zaproponował jest nie do zaakceptowania

wredulus_pospolitus: Mariusz ... ale co ma mu dać zwiększenie wielokrotności kąta, skoro po drugiej stronie ma kąty x i 2x sin²(3x) = (sin2xcosx + cos2xsinx)² = sin²x(2cos²x + 2cos²x − 1)² = sin²x(4cos²x − 1)² Co tutaj jest 'nie do zaakceptowania'

ite: Tak właśnie liczyłam : ) Ogólnie rzecz biorąc, im mniej emocji tym większa precyzja myśli.

Mariusz: Oj wredulusik nie chciało ci się już zajrzeć do wątku do którego dałem odnośnik Nie do zaakceptowania jest pomysł Adama na sumę z tego wątku Da nam cosinusa przez co będziemy mogli użyć wielomianu z przytoczonego wątku Z rozwiązania równania różniczkowego otrzymałem że

	(−1)k		n		n−k k
y1(x) = cn(∑k=0floor(n/2)		*		*		*(2x)n−2k)
	2n		n−k

y₁(1) = 1

	(−1)k		n		n−k k
zatem cn(∑k=0floor(n/2)(		)		*		) = 1
	4k		n−k

Mam problem z policzeniem tej sumy , choć dla n=6 można to zrobić na paluszkach Problemem jest policzenie jej dla pewnego ustalonego choć nieznanego n Dla n= 6

	c6		6		6 0		6		5 1
T6(x) =		(1*		*		*(2x)6−1*		*		*(2x)4
	64		6				5

	6		4 2		6		3 3
+1*		*		*(2x)2−1*		*		*(2x)0)
	4				3

	c6		6		6
T6(x) =		(64x6−		*5*16x4+		*6*4x2−2)
	64		5		4

	c6
T6(x) =		(64x6 − 96x4 + 36x2 − 2)
	64

Teraz obliczmy współczynnik c₆

	(−1)k		6		6−k k
c6(∑k=0floor(6/2)(		)		*		) = 1
	4k		6−k

	(−1)k		6		6−k k
c6(∑k=03(		)		*		) = 1
	4k		6−k

	1		6		6 0		1		6		5 1		1		6		4 2
c6(		*		*		−		*		*		+		*		*
	1		6				4		5				16		4

	1		6		3 3
−		*		*		) = 1
	64		3

	6		9		1
c6(1 −		+		−		) = 1
	4		16		32

	2		17
c6(−		+		) = 1
	4		32

	17−16
c6(		) = 1
	32

	1
c6*		= 1
	32

c₆ = 32 Mamy zatem

	c6
T6(x) =		(64x6 − 96x4 + 36x2 − 2)
	64

	32
T6(x) =		(64x6 − 96x4 + 36x2 − 2)
	64

	1
T6(x) =		(64x6 − 96x4 + 36x2 − 2)
	2

T₆(x) = (32x⁶ − 48x⁴ + 18x² − 1) T_n(cos(t)) = cos(n*t) T₆(cos(t)) = cos(6t) Mamy zatem cos(6x) = (32cos⁶(x) − 48cos⁴(x) + 18cos²(x) − 1)

1		1
	(1−cos(6x)) =		(1−(32cos6(x) − 48cos4(x) + 18cos2(x) − 1))
2		2

1		1
	(1−cos(6x)) =		(2 − 18cos2(x) + 48cos4(x) − 32cos6(x))
2		2

1
	(1−cos(6x)) = 1 − 9cos2(x) + 24cos4(x)−16cos6(x)
2

I już mamy kąty x "Co tutaj jest 'nie do zaakceptowania" To akurat jest w porządku jednak dla n>3 nie będzie to szybsze niż skorzystanie z ogólnej postaci wielomianów T_n(x) "im mniej emocji tym większa precyzja myśli." Nie precyzja myśli tylko wredulusowi nie chciało się zajrzeć do tematu z odnośnika 1 − 9cos²(x) + 24cos⁴(x)−16cos⁶(x) = 16sin²(x)cos⁴(x)−sin²(x) 1 − 9cos²(x) + 24cos⁴(x)−16cos⁶(x) = sin²(x)(16cos⁴(x) − 1) 1 − 9cos²(x) + 24cos⁴(x)−16cos⁶(x) = (1−cos²(x))(16cos⁴(x) − 1) 1 − 9cos²(x) + 24cos⁴(x)−16cos⁶(x) = −16cos⁶(x)+16cos⁴(x)+cos²(x) − 1 8cos⁴(x) − 10cos²(x)+2 = 0 Można teraz podstawić t = cos²(x) i rozwiązać równanie kwadratowe ale można zobaczyć co dadzą nam wielomiany T₄(x) oraz T₂(x)

	c4		4		4 0		4		3 1
T4(x) =		(1*		*		*(2x)4−1*		*		*(2x)2
	16		4				3

	4		2 2
+1*		*		*(2x)0)
	2

	c4
T4(x) =		(16x4−16x2+2)
	16

	1		4		4 0		1		4		3 1		1	4		2 2
c4(		*		*		−		*		*		+			*		) = 1
	1		4				4		3				16	2

	2
c4(1−1+		) = 1
	16

c4
	= 1
8

c₄ = 8

	c4
T4(x) =		(16x4−16x2+2)
	16

	8
T4(x) =		(16x4−16x2+2)
	16

	1
T4(x) =		(16x4−16x2+2)
	2

T₄(x) = (8x⁴−8x²+1)

	c2		2		2 0		2		1 1
T2(x) =		(1*		*		*(2x)2−1*		*		*(2x)0)
	4		2				1

	c2
T2(x) =		(4x2−2)
	4

	1		2		2 0		1		2		1 1
c2(		*		*		−		*		*		) = 1
	1		2				4		1

	1
c2(1−		) = 1
	2

c2
	= 1
2

c₂ = 2

	c2
T2(x) =		(4x2−2)
	4

	2
T2(x) =		(4x2−2)
	4

	1
T2(x) =		(4x2−2)
	2

T₂(x) = 2x²−1 Mamy zatem 8cos⁴(x) − 10cos²(x)+2 = 0 (8cos⁴(x) − 8cos²(x) + 1) − (2cos²(x) − 1) = 0 cos(4x) − cos(2x) = 0 cos(4x) = cos(2x) 4x = 2x + 2kπ , k ∊ ℤ 4x = −2x + 2kπ , k ∊ ℤ 2x = 2kπ , k ∊ ℤ 6x = 2kπ , k ∊ ℤ x = kπ , k ∊ ℤ

	kπ
x =		,k ∊ ℤ
	3

anna: przepraszam ale to zadanie było na maturze próbnej i na pewno nie może być w taki sposób rozwiązane

Eta: Zauważamy,że : 4sin²(2x)cos²x= (2sin(2x)*cosx)²= ( sin(3x)+sinx)² i mamy sin²(3x)= sin²(3x)+2sin(3x)*sinx+sin²x−sin²x 2sin(3x)sinx=0 sin(3x)=0 lub sinx=0 ............... dokończ P.S. aniu nie patrz na Mariusza on lubi takie rozwlekłe( na trzy strony) rozwiązania

Mefistofeles: Dobry wieczór . Eta pisze .............................=(2sin(2x)*cosx)²=(sin(3x)+sinx)² Skąd to i czy można tak szybko wpaśc na to na maturze ? Dziękuje za odpowiedz

Eta:

	3x+x		3x−x
sin(3x)+sin(x)= 2sin(		)*cos(		) = 2 sin2x*cosx
	2		2

Mefistofeles: Rozumiem

Mariusz:

	(−1)k		n		n−k k
Znając sumę ∑k=0floor(n/2)		*		*
	4n		n−k

można bardzo szybko rozwinąć cos(nx) Mamy T_n(cos(x)) = cos(n*x) Postać ogólna wielomianów T_n(x) dla n > 0 to

	(−1)k		n		n−k k
Tn(x) = cn(∑k=0floor(n/2)		*		*		*(2x)n−2k)
	2n		n−k

T_n(1) = 1 a zatem

	(−1)k		n		n−k k
cn(∑k=0floor(n/2)		*		*		) = 1
	4k		n−k

Do obliczenia współczynnika wiodącego potrzebujemy sumy

	(−1)k		n		n−k k
∑k=0floor(n/2)		*		*
	4k		n−k

Mogę postawić hipotezę że

	(−1)k		n		n−k k		1
∑k=0floor(n/2)		*		*		=
	4k		n−k				2n−1

ale bez jej udowodnienia liczyłem tę sumę aby wyznaczyć współczynnik wiodący P.S nie patrz na rozwiązanie Ety bo nawet nie wiadomo skąd to swoje rozwiązanie wzięła a przynajmniej w tym wpisie w którym się wymądrzała i nastawiała innych użytkowników przeciwko mnie , nie napisała co i skąd bierze Lepiej dłuższe niż takie z których nic nie wynika i po latach na emeryturze nawet nie będzie się pamiętać co z czego zostało wzięte Poza tym to tylko optycznie wygląda na dłuższe ale takie nie jest

Iryt: Mariusz , masz napisany wzór 22:22. Twoje rozwiązanie jest zbyt długie na próbną maturę. Wzory (tożsamości ) są w tablicach. Też rozwiązałam, jak napisano 21: 20. Nie wpisałam, bo sprawdziłam, że już jest rozwiązanie.

anna: dziękuję wszystkim szczególnie ETA 21;20

Mefistofeles: Ok. Może i można na to wpaść.Nie kwestionuje tego . Ja natomiast na początku pomyślałem nad wzorem sin²α+sin²β ale nie mogłem go znależć tylko sin²α−sin²β(jest ) Z kwadratów na cosinus tez nie pasowało

ite: refleksja ogólna (niewesoła 😥): niedobrze jeśli cokolwiek "optycznie wygląda na dłuższe ale takie nie jest"

aruseq: Mariusz relujesz