Suma związana z wielomnianami Czebyszowa Mariusz: Wykaż że dla n > 0 ⋀ n ∊ ℤ

	(−1)k		n		n−k k		1
∑k=0floor(n/2)		*		*		=
	4k		n−k				2n−1

Chciałbym tutaj pokazać jak otrzymałem tę sumę i dlaczego rozwiązanie Adama nie jest akceptowalne T_n(x) = cos(n*arccos(x)) t = arccos(x) y(t) = cos(n*t) y'(t) = −n*sin(n*t) y''(t) = −n²*cos(n*t) y''(t) = −n²y(t) y''(t) + n²y(t) = 0 t = arccos(x) x = cos(t)

dx
	= −sin(t)
dt

dx
	= −1*(±√1−x2)
dt

dy		dy		dx
	=		*
dt		dx		dt

dy		dy
	=		*(−1*(±√1−x2))
dt		dx

d2y		d		dy
	=		(		)
dt2		dt		dt

d2y		d		dy		dx		dx
	=		(		*		)*
dt2		dx		dx		dt		dt

d2y		d		dy
	=		(		*(−1*(±√1−x2)))*(−1*(±√1−x2))
dt2		dx		dx

d2y		d		dy
	= √1−x2*		(		*√1−x2)
dt2		dx		dx

d2y		d2y		dy		(−x)
	= √1−x2*(		*√1−x2 +		*		)
dt2		dx2		dx		√1−x2

d2y		d2y		dy
	= (1 − x2)		− x
dt2		dx2		dx

	d2y		dy
y''(t) + n2y(t) = (1 − x2)		− x		+ n2y(x)
	dx2		dx

y''(t) + n²y(t) = 0

	d2y		dy
(1 − x2)		− x		+ n2y(x) = 0
	dx2		dx

y(x) = ∑_m=0^∞c_mx^m (1 − x²)(∑_m=0^∞m(m−1)c_mx^m−2) − x(∑_m=0^∞mc_mx^m−1) + n²(∑_m=0^∞c_mx^m) =0 ∑_m=0^∞m(m−1)c_mx^m−2 − x²(∑_m=0^∞m(m−1)c_mx^m−2) −x(∑_m=0^∞mc_mx^m−1)+n²(∑_m=0^∞c_mx^m) =0 ∑_m=2^∞m(m−1)c_mx^m−2 − (∑_m=0^∞m(m−1)c_mx^m) −(∑_m=0^∞mc_mx^m)+n²(∑_m=0^∞c_mx^m) =0 ∑_m=2^∞m(m−1)c_mx^m−2 − ∑_m=0^∞(m(m−1)c_mx^m + mc_mx^m) − n²c_mx^m)=0 ∑_m=2^∞m(m−1)c_mx^m−2 − ∑_m=0^∞(m(m−1)+m−n²)c_mx^m = 0 ∑_m=2^∞m(m−1)c_mx^m−2 − ∑_m=0^∞(m(m−1)+m−n²)c_mx^m = 0 ∑_m=2^∞m(m−1)c_mx^m−2 − ∑_m=0^∞(m²−n²)c_mx^m = 0 ∑_m=2^∞m(m−1)c_mx^m−2 − ∑_m=0^∞(m−n)(m+n)c_mx^m = 0 ∑_m=0^∞(m+2)(m+1)c_m+2x^m − ∑_m=0^∞(m−n)(m+n)c_mx^m = 0 ∑_m=0^∞((m+2)(m+1)c_m+2x^m − (m−n)(m+n)c_mx^m) = 0 ∑_m=0^∞((m+2)(m+1)c_m+2 − (m−n)(m+n)c_m)x^m = 0 (m+2)(m+1)c_m+2 − (m−n)(m+n)c_m = 0 (m−n)(m+n)c_m = (m+2)(m+1)c_m+2

	(m+2)(m+1)
cm =		cm+2
	(m−n)(m+n)

m := m − 2

	m(m−1)
cm − 2 =		cm
	(m−2−n)(m−2+n)

	(m−2)(m−3)m(m−1)
cm−4 =		cm
	(m−4−n)(m−2−n)(m−4+n)(m−2+n)

	(m−4)(m−5)(m−2)(m−3)m(m−1)
cm−6 =		cm
	(m−6−n)(m−4−n)(m−2−n)(m−6+n)(m−4+n)(m−2+n)

c_m−2k =

	(m−2)(m−3)m(m−1)*..*(m−2k+2)(m−2k+1)
	(m−2−n)(m−4−n)*..*(m−2k−n)(m−2+n)(m−4+n)*..*(m−2k+n)

*c_m

	m!
cm−2k =		cm
	(m−2k)!(m−2−n)(m−4−n)*..*(m−2k−n)(m−2+n)(m−4+n)*..*(m−2k+n)

m = n

	n!
cn−2k =		cn
	(n−2k)!(−2)(−4)*...*(−2k)*(2n−2)*(2n−4)*...*(2n−2k)

	n!
cn−2k =		cn
	(n−2k)!*(−1)k*22k(1)(2)*...*(k)*(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)*(n−k)

	n!*(−1)k
cn−2k =		cn
	22k*k!*(n−2k)!*(n−k)*(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)

c_n−2k =

	n!*(−1)k*n*(n−k)!
		cn
	22k*k!*(n−2k)!*(n−k)*(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)*n*(n−k)!

	n!*(−1)k*n*(n−k)!
cn−2k =		cn
	22k*k!*(n−2k)!*(n−k)*n!

	(−1)k*n*(n−k)!
cn−2k =		cn
	22k*k!*(n−2k)!*(n−k)

	(−1)k		n		n−k k
cn−2k =		*		*		*cn
	22k		n−k

	(−1)k		n		n−k k
cn−2k =		*		*		*2n−2k*cn
	2n		n−k

	(−1)k		n		n−k k
y1(x) = ∑k=0floor(n/2)(		*		*		*2n−2k*xn−2kcn)
	2n		n−k

y₁(x) =

	(−1)k		n		n−k k
cn(∑k=0floor(n/2)(		*		*		*2n−2k*xn−2k))
	2n		n−k

	(−1)k		n		n−k k
y1(x) = cn(∑k=0floor(n/2)(		*		*		*(2x)n−2k))
	2n		n−k

	(−1)k		n		n−k k
cn(∑k=0floor(n/2)		*		*		) = 1
	22k		n−k

Teraz aby wyznaczyć współczynnik wiodący tego wielomianu potrzebuję następującej sumy

	(−1)k		n		n−k k
∑k=0floor(n/2)		*		*
	22k		n−k

Do jej obliczenia nie mogę jednak wykorzystać wielomianów Czebyszowa Strata ogólności nastąpiła chyba po wstawieniu m = n, stąd założenie n > 0 , aby uniknąć dzielenia przez zero

skibiditoaleta123: niewiem