nierówność, trójkąt modliszka: Niech a, b, c będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że 2(^a_b + ^b_c + ^c_a) ≥ ^a_c + ^b_a + ^c_b + 3 Bardzo proszę o pomoc, męczę się kolejne godziny, a nadal nic nie wychodzi. Ciągle próbuję coś z warunku istnienia trójkąta i nierówności średnich ale nic mi to nie daje Zadanko jest z konkursu Leji z 2017 jak coś

srebrna modliszka: Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną

a   b   c   + + b   c   a		a		b		c
	≥ 3√		*		*		= 1
3		b		c		a

	a		b		c
to		+		+		≥3
	b		c		a

	a		b		c
analogicznie		+		+		≥3
	c		a		b

zatem

	a		b		c
2(		+		+		)≥6= 3+3
	b		c		a

a

b

c

a

b

c

2(

+

+

)≥

+

+

+3

b

c

a

c

a

b

co kończy dowód

ite: z czego wynika poprawność przejścia z przedostatniego wiersza do ostatniego?

wredulus_pospolitus: @ite ... ze nierówności pomiędzy średnimi (1) tylko weźmiemy inną kolejność w licznikach

ite: moja wątpliwość: czy z tego że

	a		b		c
2(		+		+		) ≥ 3+3
	b		c		a

oraz

a		b		c
	+		+		≥3
c		a		b

wynika że

a

b

c

a

b

c

2(

+

+

)≥

+

+

+3

b

c

a

c

a

b

wredulus_pospolitus: już widzę o co Ci chodzi .... i faktycznie ... nie można w ten sposób

jc: S=(b+c−a)(c−a)²+(c+a−b)(a−b)²+(a+b−c)(a−b)² ≥0 S/(2abc) ≥ 0 to Twoja nierówność. https://matematykaszkolna.pl/forum/352195.html