,.,.
Pełcio: Witam
Jak to zrobić?
Niech a,b,c będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że:
| | a | | b | | c | | a | | b | | c | |
2( |
| + |
| + |
| )≥ |
| + |
| + |
| +3 |
| | b | | c | | a | | c | | a | | b | |
22 kwi 19:22
22 kwi 20:21
Krzysiek: | 2a2c+2b2a+2c2b | | a2b+b2c+c2a | |
| ≥ |
| +3 |
| abc | | abc | |
2a
2c+2b
2a+2c
2b≥a
2b+b
2c+c
2a+3abc
a
2c+b
2a+c
2b≥a
2(b−c)+b
2(c−a)+c
2(a−b)+3abc
a
2(2c−b)+b
2(2a−c)+c
2(2b−a)≥3abc
załóżmy, że a≥b≥c.
2c−b≥a
2a−c≥b
2b−a≥c
więc:
a
2(2c−b)+b
2(2a−c)+c
2(2b−a)≥a
3+b
3+c
3≥3(a
3b
3c
3)
1/3=3abc
22 kwi 21:07
Pełcio: Dzięki Krzysiek, jak ktoś widzi jeszcze inne rozwiązanie, to prosiłbym o pokazanie
22 kwi 21:35
Pełcio: Ja próbowałem tak:
| a | | a | | b | | b | | c | | c | | a | | b | | c | |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| − |
| − |
| − |
| −3≥0 |
| b | | b | | c | | c | | a | | a | | c | | a | | b | |
| a | | c | | b | | a | | c | | b | | a | | b | | c | |
| − |
| + |
| − |
| + |
| − |
| + |
| −1+ |
| −1+ |
| −1≥0 |
| b | | b | | c | | c | | a | | a | | b | | c | | a | |
| 2a−b−c | | 2b−a−c | | 2c−a−b | |
| + |
| + |
| ≥0 |
| b | | c | | a | |
a=x+y, b=x+z, c=y+z
| x+y−2z | | x+z−2y | | y+z−2x | |
| + |
| + |
| ≥0 |
| x+z | | y+z | | x+y | |
(y+z)(x+y)(x+y−2z)+(x+z−2y)(x+z)(x+y)+(y+z−2x)(y+z)(x+z)≥0
czy z tego coś wynika? bo chyba nie
22 kwi 21:50
Krzysiek: ja bym zakończył już po 3 linijce
22 kwi 22:00
Krzysiek: | 2a−b−c | | 2b−a−c | | 2c−a−b | |
| + |
| + |
| ≥0 |
| b | | c | | a | |
przecież te ułamki są dodatnie
22 kwi 22:00
Pełcio: ale skąd?
22 kwi 22:03
g: Krzysiek, dlaczego 2b−a ≥ c ?
22 kwi 22:06
Adamm: właśnie
22 kwi 22:23
24 kwi 08:25
Pełcio: Dzięki, już widziałem właśnie takie zwinięcie, myślałem, że żeby rozmnażać te nawiasy co tam
dostałem na końcu (21:50) to przesada, ale okazuje się, że trzeba
24 kwi 15:38