Wykaż że Mariusz: Wykaż że dla n > 0 ⋀ n ∊ ℤ

	(−1)k		n		n−k k		1
∑k=0floor(n/2)		*				=
	4k		n−k				2n−1

Po obliczeniu wartości dla kilku początkowych dodatnich n postawiłem powyższą hipotezę ale jak ją wykazać

Adamm: Zauważyłem że mają związek wielomiany pierwszego rodzaju Dicksona https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dickson_polynomial

Adamm: https://en.wikipedia.org/wiki/Dickson_polynomial

Adamm:

	(−1)k		n		n−k k
∑k=0floor(n/2)						= 2−n ∑k=0floor(n/2) (−1)k
	4k		n−k

	n−k k
2n−2k

= 2⁻ⁿ D_n(2, 1) = 2⁻ⁿ * 2 * T_n(1) = 2⁻ⁿ⁺¹ Gdzie D_n to wielomian Dicksona pierwszego rodzaju a T_n to wielomian Czebyszewa

Mariusz : Tyle że ja potrzebuję tej sumy do wyznaczenia współczynnika wiodącego wielomianów Czebyszowa Wychodząc z tego że T_n(x)=cos(n*arccos(x)) przyjąłem że t = arccos(x) i wtedy y(t) = cos(n*t) Różniczkując dwukrotnie otrzymałem y''(t) = −n²cos(n*t) y''(t) = −n²y(t) y''(t) + n²y(t) = 0 Dokonałem zamiany zmiennej niezależnej t = arccos(x) i otrzymałem (1−x²)y''(x) −xy'(x)+n²y(x) = 0 Teraz rozwiązałem to równanie metodą szeregu potęgowego y(x) = ∑_k=0^floor(n/2) c_kx^k i otrzymałem następujące równanie (k+2)(k+1)c_k+2−(k−n)(k+n)c_k = 0 (k−n)(k+n)c_k = (k+2)(k+1)c_k+2

	(k+2)(k+1)
ck =		ck+2
	(k−n)(k+n)

ostatecznie otrzymałem że całką szczególną tego równania jest

	(−1)n		n		n−k k
y1(t) = cn(∑k=0floor(n/2)		*		*		*(2x)n−2k)
	2n		n−k

Wiemy też że T_n(1) = 1 zatem do obliczenia wyrazu c_n potrzebuje tej sumy z pierwszego wpisu w tym wątku Warunek n > 0 powstał prawdopodobnie dlatego że podczas rozszerzania do silni a następnie do symbolu Newtona wystąpiło gdzieś dzielenie przez zero Gdybym więc skorzystał z tego co proponujesz wystąpiło by błędne koło w rozumowaniu (ang circular reasoning)

Mariusz: Tutaj założyłem że wielomian który dostałem jest rzeczywiście wielomianem Czebyszowa Dostałem całkę szczególną

	(−1)k		n		n−k k
y1(x) = cn(∑k=0floor(n/2)		*		*		*(2x)n−2k)
	2n		n−k

Drugą całkę szczególną można uzyskać na dwa sposoby 1) z Wrońskianu 2) podstawieniem obniżającym rząd

Mariusz: "Gdzie D_n to wielomian Dicksona pierwszego rodzaju a T_n to wielomian Czebyszewa" Adamm , niestety z wielomianów Czebyszewa nie mogę korzystać https://matematykaszkolna.pl/forum/419490.html Tu dokładniej rozpisałem skąd tę sumę wziąłem