Udowodnij następujące wzory:
prk396: a) (sin x)n = sin(x + (nπ)/2)
b) (cos x)n = cos(x +(nπ)/2)
11 gru 19:53
ABC:
to na przykład z b) wynika dla n=1 cos x=cos (x+π/2)
ale w I cwiartce cos dodatni a w drugiej ujemny, to jak może zajść równość?
11 gru 19:58
Mariusz:
ABC to nie jest potęga tylko rząd pochodnej
Wtedy wzór będzie poprawny i ja go używałem do
rozwijania wykładniczej funkcji tworzącej wielomianów T Czebyszowa
16 gru 19:55
ABC:
rząd pochodnej to n powinien w nawiasie pisać , niech idzie w ....
16 gru 20:06
Mariusz:
prk to może indukcyjnie
dla n = 1
| | cos(x+h)−cos(x) | |
limh→0 |
| = |
| | h | |
| | cos(x)cos(h)−sin(x)sin(h)−cos(x) | |
limh→0 |
| = |
| | h | |
| | cos(x)(cos(h) − 1)−sin(x)sin(h) | |
limh→0 |
| |
| | h | |
| | cos(x)(cos(h) − 1) | | sin(x)sin(h) | |
limh→0 |
| − limh→0 |
| = |
| | h | | h | |
| | (cos(h) − 1) | | sin(h) | |
cos(x)limh→0 |
| − sin(x)limh→0 |
| = |
| | h | | h | |
| | cos2(h/2)−sin2(h/2)−cos2(h/2)−sin2(h/2) | |
cos(x)limh→0 |
| |
| | 2(h/2) | |
| | −2sin2(h/2) | | sin(h) | |
cos(x)limh→0 |
| −sin(x)limh→0 |
| = |
| | 2(h/2) | | h | |
| | sin(h/2) | | sin(h) | |
−cos(x)limh→0(sin(h/2))limh→0 |
| −sin(x)limh→0 |
| |
| | (h/2) | | h | |
= −sin(x)
a to ze wzorów redukcyjnych można zapisać jako
Teraz załóżmy że teza jest spełniona dla pewnego k ≥ 1
i pokażmy że z prawdziwości tezy dla n=k wynika prawdziwość tezy dla n=k+1
16 gru 20:21
Mariusz:
Gdyby to n miało oznaczać potęgę to nie byłoby czego dowodzić bo twierdzenie
jest fałszywe już dla n=1 co zauważył ABC
ABC no tak ten niedbały zapis może zmylić choć akurat tutaj łatwo się domyślić o co chodziło
16 gru 21:11
Mariusz:
ABC jak twoim zdaniem wyglądałby dowód gdyby to jednak chodziło o pochodną
i czy można wymyślić coś innego niż indukcja
16 gru 21:33
jc: Mariusz, wydaje się bez sensu w tym zadaniu liczenie pochodnej z definicji.
Pisząc lim ... = lim ... = lim ... piszesz wirtualne równości, które nabierają sensu
dopiero, kiedy udowodnisz istnienie granicy.
A bez indukcji można oczywiście...
16 gru 21:55
16 gru 22:04
Adamm: Raczej się nie da bez indukcji
17 gru 11:24
jc: można np. tak:
(cos x + i sin x)(n)} = (eix)(n) = in eix n = (ei π/2)n eix
= ei(x + nπ/2) = cos(x+nπ/2) + i sin(x+nπ/2)
stąd
(cos x)(n) = cos(x+nπ/2)
(sin x)(n) = sin(x+nπ/2)
17 gru 11:33
Adamm: No wiesz, to nadal jest indukcja, tylko w innej postaci
17 gru 11:42
17 gru 11:45