Algebra Ada: Pokaż, że grupa, w której wszystkie elementy spełniają warunek x² = e, jest prostą sumą pewnej liczby grup cyklicznych tego samego rzędu proszę o pomoc z zadaniem

Adamm: https://matematykaszkolna.pl/forum/418170.html grupa ta jest abelowa, więc piszemy x+y zamiast x*y oraz 0 zamiast e definiując 1*x = x, 0*x = 0 dostajemy funkcję Z/2Z x G → G G razem z tą operacją jest teraz przestrzenią wektorową nad ciałem Z/2Z: Dowód: Jeśli a, b ∊ Z/2Z oraz x ∊ G, to a(bx) = (ab)x. Bo jeśli a = 0 lub b = 0, to obie strony są równe 0, a jeśli a = b = 1, to obie strony są równe x. Jeśli x ∊ G, to 1x = x. Z definicji Jeśli a ∊ Z/2Z oraz x, y ∊ G to a(x+y) = ax+ay. Dla a = 0 obie strony to 0, dla a = 1 obie strony to x+y. Jeśli a, b ∊ Z/2Z oraz x ∊ G, to (a+b)x = ax+bx. Dla a = b = 0 obie strony to 0, dla a = 1, b = 0 lub b = 1, a = 0 obie strony to x. Dla a = b = 1, obie strony to 0, bo x+x = 0. □ Biorąc bazę dla G, dostajemy pewne x_i ∊ G dla i ∊ I (ten krok wymaga aksjomatu wyboru). Odwzorowanie a → ∑ a_ix_i z (+)_i∊I Z/2Z → G jest izomorfizmem Z/2Z−przestrzni wektorowych, zatem izomorfizmem grup