Grupa abelowa 1: Niech (G,*) będzie grupą z elementem neutralnym e taką że a*a = e. Wykaz że grupa ta jest grupą abelową. Jak wykazać przemienność?

1: Nie mam pomysłu jak to przekształcić odpowiednio z użyciem łączności i el. Symetrycznego

Adamm: dla każdego a, a*a = e? chyba tak miało być

Adamm: Żeby wykazać przemienność zauważ że (xy)² = e, to znaczy xyxy = e.

ite: @Adamm czy dalej należy skorzystać z łączności?

:: * to nie mnożenie tylko działania wewnętrzne

: Zatem (x*y)² to (x*y)•(x*y) a nie x*y*x*y

ABC: dalej należy skorzystać że również xx=e yy=e czyli x=x⁻¹ , y=y⁻¹ xyxy=e to xy=(xy)⁻¹=y⁻¹x⁻¹=yx

ite: dziękuję!

Adamm: @ite założyłem że jesteśmy na tyle zaznajomieni z grupami, że rzeczy takie jak xyxy nie są nam obce. @11:11, 11:12 bzdury

Adamm: oczywiście dalej kontynuujemy jak @ABC nie napisałem tego bo pomyślałem, że lepiej by było żeby autor na to wpadł

Adamm: jeszcze raz z tą łącznością... używamy jej do tego żeby napisy takie jak x³ albo xyyxz nas nie przerażały nawiasami, po to ta łączność właściwie jest

Adamm: czyli ona istnieje gdzieś w tle, ale nią się nie przejmujemy kiedy rozwiązujemy zadanie

ite: autor zamilkł, więc sama spróbowałam się dowiedzieć : )

: Skąd wynika to że (x*y)⁻¹ = (y*x)⁻¹, możemy tutaj używać własności mnożenia Czy element odwrotny zapisywany x⁻¹ to to samo co 1/x? Chyba nie

: Tutaj po prostu skorzystaliśmy z tego że x*y*e = e*x*y z podstawieniem np e = x*x

Adamm: @15:33 bzdura @15:01 wzór jest (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹ i zachodzi on dla każdej grupy (zauważ że zamieniamy kolejność) Wynika to z tego że (xy)(y⁻¹x⁻¹) = xyy⁻¹x⁻¹ = xx⁻¹ = e. Można też sprawdzić że (y⁻¹x⁻¹)(xy) = e, ale nie jest to konieczne. Ponieważ każdy element grupy ma dokładnie jeden element odwrotny, (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹.