Dowód algebra
Alaias: Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a i b spełniają warunek a+b≥1, to a4+b4≥1/8
26 cze 10:52
26 cze 10:56
Alaias: Założenie a+b≥1..?
U Kuby jest a+b=1,
U nas nie było : 4√(a2+b2)/2≥(a+b)/2
średnia z wykładnikiem 4 ≥ średnia arytmetyczna,
gdzie znaleźć informacje na ten temat?
26 cze 12:27
jc:
(x−y)2 ≥0
x2+y2 ≥ 2xy
do obu stron dodajesz x2+y2
2(x2+y2) ≥ 2xy + x2+y2 = (x+y)2
wstawiamy x=a2, y=b2
2(a4+b4) ≥ (a2+b2)2
8(a4+b4) ≥ [2(a2+b2)2]2=[(a+b)2]2=(a+b)4
Nie trzeba zakładać, ze a,b >0. Jeśli a + b = 1, to mamy
8(a4+b4) ≥ 1
26 cze 13:09
Alaias: Nie rozumiem trzeciej linijki od dołu
Gdzie można znaleźć informacje na temat " średnia z wykładnikiem 4 ≥ średnia arytmetyczna"?
Pod podanym linkiem ktoś tak rozwiązywał to zadanie.
27 cze 16:09
jc: W trzeciej linii od dołu powinna być nierówność.
2(a
4+b
4) ≥ (a
2+b
2)
2
2(a
2+b
2) ≥ (a+b)
2
4(a
2+b
2)
2 ≥ (a+b)
4
stąd
8(a
4+b
4) ≥ (a+b)
4
−−
Można też inaczej. Funkcja f(x)=x
4 jest funkcją wypukłą w dół.
| | f(a)+f(b) | | a+b | |
Dlatego |
| ≥ f( |
| ). |
| | 2 | | 2 | |
27 cze 16:38
Alaias: Dzięki
27 cze 17:44