udowodnij kuba: Wykaż ,że jeżeli a i b spełniają równość a+b=1 to a⁴+b⁴≥¹₈. Proszę o rozwiązanie

sushi_ gg6397228: zastosuj dwa razy wzory skroconego mnozenia (a+b)²=... oraz (a²+b²)²=.... poprzekształcaj i pokaz co Tobie wyszlo

kuba: nie mam pojęcia

sushi_ gg6397228: wzoru nie umiesz napisac?, a potem przeniesc czesci wyrazen na druga strone

kuba: poprzekształcałem i nic

kuba: rozumiem

sushi_ gg6397228: to pokaz tutaj co robisz, nie dam gotowca

kuba: napisałem wzory i nie wiem co dalej.przekształcam je i nic mi nie wychodzi

TOmek: "to pokaz tutaj co robisz"

Gox: moze ktos to dokonczyc bo mi cos nie chce wyjść?Doszedlem do 8(a²+b²)≥4ab+1

Eta: Witam Można tak: z zależności między średnimi ( średnia z wykładnikiem 4 ≥ średnia arytmetyczna)

	a4+b4		a+b
4√		≥
	2		2

	1
jeżeli a+b=1 to a4+b4≥
	8

	1
a4+b4≥		/:2
	8

a4+b4		1
	≥		| 4√
2		16

	a4+b4		1		a+b
4√		≥		=
	2		2		2

c.n.u.

ICSP:

	1
a4 + b4 − 2(ab)2 + 2(ab)2 ≥
	8

	1
(a2−b2)2 + 2(ab)2 ≥
	8

	1
(a−b)2(a+b)2 − 2(ab)2 ≥
	8

	1
a2 −2ab + b2 − 2(ab)2 ≥
	8

	1
a2 + b2 − 2(ab)2 − 2ab ≥
	8

	1
(a+b)2 − 2(ab)2 − 4ab ≥
	8

	7
−2(ab)2 − 4ab +		≥ 0
	8

t = ab

	7
−2t2 −4t +		≥ 0
	8

no i mam sprzeczność:( Mógłby ktoś mnie poprawić?

sushi_ gg6397228: miedzy 3 a 4 linijka jest bład najpierw mamy a⁴.... b⁴ a potem jest tylko a².... b²

ICSP: (a+b)² = 1 wiemy z treści zadania ze a+b = 1

Jack: Eta, a,b nie muszą być dodatnie w naszym zadaniu. Myślę że najprościej skorzystać z rady sushi'ego.

Jack: ICSP, w trzecim wierszu zmieniłeś znak ostatniego wyrażenia...

Eta: Słuszna uwaga Jack U mnie a,b >0

ICSP: rzeczywiście, ale to nadal nic nie zmienia

	7
Na końcu wychodzi −2t2 + 4t +		≥ 0 co nie jest spełnione dla każdego t:(
	8

Jack: (*) .... a²−2ab+b²+2(ab)²≥¹₈ a²+2ab+b²−4ab+2(ab)²≥¹₈ 2(ab)²−4ab+⁷₈≥0 t=ab ab=t₁=1/2 ab=t₂=7/2 t∊(−∞,1/2>∪<7/2,∞)=A lecz, gdy a+b=1 → b=1−a → a(1−a)=f(a) → f(a)∊<1/4, −∞) lecz f(a)⊂A. Stąd ∀a,b (a+b=1) → (*) zachodzi. Widać, że... troszkę się skomplikowało...

Jack: po prostu t nie może być dowolne dowolne...

;) ZKS ;): b = 1 − a

	1
a4 + (1 − a)4 −		≥ 0
	8

	7
2a4 − 4a3 + 6a2 − 4a +		≥ 0
	8

	7
a4 − 2a3 ≥ −3a2 + 2a −
	16

	7
(a2 − a + y)2 ≥ −2a2 + 2a −		+ z
	16

z = 2a²y − 2ay + y²

	7
(a2 − a + y)2 ≥ (−2 + 2y)a2 + (2 − 2y)a + y2 −
	16

	9		1
Δ = −8y3 + 12y2 −		y +
	2		2

	9		1
W(1) = −8 + 12 −		+		= 0
	2		2

y = 1

	9
(a2 − a + 1)2 ≥
	16

	9
(a2 − a + 1)2 −		≥ 0
	16

	1		7
(a2 − a +		)(a2 − a +		) ≥ 0
	4		4

	1		7
(a −		)2(a2 − a +		) ≥ 0
	2		4

	7		1
a2 − a +		> 0 dla każdego a ∊ ℛ bo Δ < 0 ⋀ (a −		)2 ≥ 0 dla każdego a ∊ ℛ
	4		2

c.n.u

Vax:

	x4+y4		x+y
Z tymże rozwiązanie Eta i tak jest poprawne, nierówność 4√		≥
	2		2

działa dla dowolnych rzeczywistych x,y, skoro wiadomo, że działa dla nieujemnych, to wystarczy popatrzeć co się dzieje dla ujemnych − po lewej stronie mamy niewiadome w parzystych potęgach więc lewa strona pozostaje bez zmian, a zmniejszyć może się jedynie prawa Pozdrawiam.