równanie z x^4 Mike: x⁴ − m(m + 3) * x² − m³ = 0 Dla jakich m równanie to ma 4 pierwiastki rzeczywiste? Widziałem taki wątek na forum, jednak niewiele z niego zrozumiałem. Wiem, że można użyć wzorów Viete'a, jednak czy da się to zadanie zrobić w jakiś sposób bez ich znajomości? Nie przerabialiśmy ich jeszcze, a to jest zadanie dla chętnych i chciałbym się dowiedzieć jak można by je zrobić. Bardzo dziękuję za pomoc

ABC: musisz zbadać kiedy równanie t²−m(m+3)t−m³=0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste dodatnie, ale bez wzorów Viete'a jest to upierdliwe

kerajs: Dodatkowo, rozwiązanie jest uzależnione od tego, co rozumiesz przez pierwiastek równania. Przykładowo, dla m=0 równanie ma postać x⁴=0. Ile pierwiastków ma to równanie? PS W temacie https://matematykaszkolna.pl/forum/409903.html miała pojawić się prezentacja omawiająca tę kwestię. Może teraz ABC taką zorganizuje?.

ABC: sorry Winnetou , w tym roku mam uczniów którzy nie są w stanie takiej prezentacji zrobić a samemu oczywiście mi się nie chce , choć dobrze byłoby zrobić przegląd literatury w tym temacie z ostatnich 100 lat powiedzmy

.: 1) Co rozumiemy pod hasłem: "4 pierwiastki rzeczywiste" ? Tak jak @kerajs napisał, czy x⁴=0 ma 4 pierwiastki czy 1 pierwiastek 2) Przyjmując, że równanie x⁴ = 0 ma 1 pierwiastek można zauważyć, że zadanie jest równoznaczne zadaniu: Dla jakich wartości parametru 'm' funkcja f(x) = x⁴ −m(m+3)x² − m³ posiada 4 miejsca zerowe. I teraz możemy skorzystać z pochodnej (sprawdzić kiedy funkcja ma 3 ekstrema). Możemy też popatrzeć na to, że funkcja f(x) będzie symetryczna względem osi OY, więc i miejsca zerowe będą musiały być symetryczne. A więc: f(x) = (x−a)(x+a)(x−b)(x+b) = (x²−a²)(x²−b²) = x⁴ − (a²+b²)x² +(ab)² ; a,b > 0 (chociaż to raczej niewiele daje) Dodatkowo można sobie zrobić szkic wykresu funkcji f(x) i zauważyć, że dla x=0 będzie miała ona maksimum, więc f(0) = −m³ >0 jest warunkiem koniecznym

.: Tak naprawdę wystarczy nam: 1. Dla jakich wartości parametru 'm' funkcja f(x) = x⁴ −m(m+3)x² − m3 posiada 4 miejsca zerowe. I teraz możemy skorzystać z pochodnej (sprawdzić kiedy funkcja ma 3 ekstrema). 2. Dodatkowo można sobie zrobić szkic wykresu funkcji f(x) i zauważyć, że dla x=0 będzie miała ona maksimum, więc f(0) = −m³ >0 jest warunkiem koniecznym 3. f(x_{min 1}) < 0 ; f(x_{min 2}) < 0

kerajs: Oby dobry Manitou sprawił, że kolejni zagrożeni będą bardziej kumaci i zrobią tę prezentację.

.: Jak mylicie krotności pierwiastków z ich ilością to przeczytajcie definicje