Co to jest wzór jawny i funkcja tworząca ralph kamiński: Ja bym chciał zapytać jako początkujący adept sztuki zwanej matematyką dyskretną co to jest wzór jawny i funkcja tworząca? Dziękuje

ralph kamiński: Czy można powiedzieć o wzorze jawnym jako czymś co jest przejściem ze wzoru rekurencyjnego to postaci bardziej ogólnej czy coś takiego?

ABC: wzór jawny to od razu możesz milionowy element obliczyć a rekurencyjny to obliczasz pierwszy , na jego podstawie drugi, potem trzeci i tak aż do miliona co bez komputera jest w .... roboty

ralph kamiński: ok, a ta funkcja tworząca. Bo ucze się tego dopiero i nie za wiele jeszcze rozumiem

ABC: Ta funkcja tworząca to jeden ze sposobów żeby uzyskać wzór jawny ze wzoru rekurencyjnego być może użytkownik Mariusz pokaże ci jakieś przykłady, on uwielbia te funkcje

ralph kamiński: dzięki

chichi: Ty się pytasz o definicje funkcji tworzącej czy do czego służy funkcja tworząca w matematyce dyskretnej?

Mariusz: Funkcja tworząca jest to funkcja której współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy są wyrazami ciągu Jest kilka funkcji tworzących choć do rozwiązywania równań rekurencyjnych wykorzystywane są dwie zwykła i wykładnicza Przypuśćmy że mamy dany ciąg a_n Zwykłą funkcją tworzącą ciągu a_n jest A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Zwykła funkcja tworząca daje dla ciągu jedynek szereg geometryczny

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

Jeżeli weźmiemy ciąg będący kolejnymi potęgami dwójki to otrzymamy

	1
∑n=0∞2nxn=∑n=0∞(2x)n=
	1−2x

Dla ciągu kolejnych liczb naturalnych dodatnich mamy jednak pochodną szeregu geometrycznego

	d
∑n=0∞(n+1)xn=		(∑n=0∞xn)
	dx

=∑_n=0^∞nxⁿ⁻¹=∑_n=1^∞nxⁿ⁻¹ =∑_n=1^∞(n+1)xⁿ

	d		1		−1		1
=		(		) =		(−1) =
	dx		1−x		(1−x)2		(1−x)2

Jeżeli funkcja tworząca jest funkcją wymierną to aby dostać współczynniki szeregu czyli wyrazy ciągu wystarczy rozłożyć funkcję tworzącą na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych W przeciwnym razie można spróbować policzyć n. pochodną w zerze Tutaj czasami może być przydatny wzór Leibniza na pochodną iloczynu choć pewną trudnością może być znalezienie wzoru na n. pochodną czynników Co do samego wzoru to widać tu spore podobieństwo do dwumianu Newtona Przypuśćmy że mamy dany ciąg a_n Wykładniczą funkcją tworzącą ciągu a_n jest

	an
A(x)=∑n=0∞		xn
	n!

Wykładnicza funkcja tworząca dla ciągu jedynek daje funkcję e^x Może być ona przydatna dla ciągów dla których zwykła funkcja tworząca nie jest zbieżna No właśnie chichi jest z tym na bieżąco Ja to miałem prawie 20 lat temu Ciekawe jak znajdziecie wzór na liczby Catalana , Bella , Bernoulliego czy choćby wzór jawny równania liniowego ale takiego w którym współczynniki nie są stałe uwielbianym przez was równaniem charakterystycznym

chichi: w bardzo prosty sposób, przez rekurencje

Mariusz: Powiedział co wiedział (Lepiej pasowałoby orzeczenie napisał ale wybrałem powiedział dla rymu) Chodziło o wzór jawny inaczej nie byłoby sensu używać czy to funkcji tworzących czy to uwielbianego przez was równania charakterystycznego

kerajs: Powiedział, co wiedział, i to całkiem dorzecznie. Nikomu, kto w zadaniu używa liczb Catalana, nie przyjdzie do głowy aby wyprowadzać ich wzoru ogólnego. To tylko niepotrzebna strata czasu. Nb, nie pamiętam abyś gdziekolwiek je zastosował. Wskaż mi linki do zadań, jeśli się mylę. Naprawdę umiesz znaleźć wzór ogólny na liczby Bella lub Bernoulliego? Z przyjemnością o tym poczytam.

chichi: @Mariusz zajrzyj do pierwszego lepszego podręcznika z matematyki dyskretnej, bo widzę że nauczono Cię tylko schematu posługiwania się 'funkcją tworzącą' natomiast Twoje pojęcie o matematyce dyskretnej (teoretyczne) jest zerowe

Mariusz: Temat jest o funkcji tworzącej no i pokazaliście z kerajsem swoje pojęcie Na pewno Ralphowi nie pomagacie

chichi: "Temat jest o funkcji tworzącej no i pokazaliście z kerajsem swoje pojęcie Na pewno Ralphowi nie pomagacie" przecież to Ty wyjechałeś z pytaniem: "Ciekawe jak znajdziecie wzór na liczby Catalana , Bella , Bernoulliego czy choćby wzór jawny równania liniowego ale takiego w którym współczynniki nie są stałe uwielbianym przez was równaniem charakterystycznym" @Mariusz rzeczywiście mało śpisz, albo tylko udajesz

Mariusz: chichi czytaj wszystkie wpisy Co wcześniej napisał ABC ? Nawet użyłem jego sformułowania Poza tym to dobrze że to napisałem bo podałem przykłady równań rekurencyjnych dla których funkcje tworzące działają a uwielbiane przez was równanie charakterystyczne już nie

chichi: ale Ty mi nie musisz mówić, bo ja bardzo dobrze o tym wiem, natomiast podam analogię Twoje schematu rozumowania na konkretnym przykładzie: Rozwiąż równanie: x² − 4 = 0, każdy mający trochę rozumu rozwiąże to na jeden z dwóch sposobów, które podam: (1) x² = 4 ⇔ |x| = 2 ⇔ ... (2) )(x − 2)(x + 2) = 0 ⇔ ... wtedy wchodzi Mariusz i mówi po co uczyć się rozwiązywania równań kwadratowych niezupełnych innymi metodami skoro "DELTA" zawsze działa gdzie owa "DELTA' to odpowiednik Twojej funkcji tworzącej. jako wisienke na torcie zostawię ten wątek, niech ludzie zobaczą Twoje ładowanie funkcji tworzącej wszędzie tam gdzie jej nie potrzeba https://matematykaszkolna.pl/forum/415186.html "chichi czytaj wszystkie wpisy Co wcześniej napisał ABC ?" to ma się nijak do tego, że zadajesz nam idiotyczne pytania, a gdy na nie odpowiadamy piszesz, że wątek był o funkcji tworzącej... kończe z tobą dyskusję essa

ralph kamiński: Ok. I już wszystko jasne. Wielkie dzięki

Mariusz: Tutaj Mila pisała ze Szkolniakiem o równaniach rekurencyjnych i funkcji tworzącej https://matematykaszkolna.pl/forum/414346.html