Całki Atreus: Czy ktos moglby mi pomoc Musze obliczyc

	5x+1
∫		dx
	4x2+4x+1

	5x+1		5x+1
∫		dx = 14∫		dx = ...
	(2x+1)2		(x+12)2

	A		B
I teraz rozkladam to na wielomiany		+		, ale nie wiem, jak to
	x+12		(x+12)2

dokonczyc.

wredulus_pospolitus: po rozłożeniu na ułamki proste:

	A
∫		dx = A*ln(x+1/2) + C
	x+1/2

	A		−A
∫		dx =		+ C
	(x+1/2)2		x+1/2

Mariusz: Przez części można by nawet w pamięci no chyba że musisz przez rozkład na sumę ułamków prostych

	5x+1		1	5x+1		5		1
∫		dx = −			+		∫		dx
	(2x+1)2		2	2x+1		2		2x+1

	5x+1		1	5x+1		5		2
∫		dx = −			+		∫		dx
	(2x+1)2		2	2x+1		4		2x+1

	5x+1		1	5x+1		5
∫		dx = −			+		ln|2x+1|+C
	(2x+1)2		2	2x+1		4

Atreus: Dzieki ludzie, ale musze dopytac. Wredulus_pospolitus: Ty tę drugą linijkę policzyles w glowie na podstawie wzoru na pochodna ilorazu (tylko w druga strone)? Mariusz: Wybacz, ale nie moge zrozumieć, jak doszedles do takich przeksztalcen.

Atreus: Tzn. w jaki sposob skonstruowales te pierwsza linijkę z twojego wpisu.

. : Nawet nie tyle całka/pochodna z ilorazu co calka/pochodna z x^a, gdzie a = −2 w naszym przypadku

	1
∫ xa dx =		xa+1 + C
	a+1

Jak nie pamiętać to, to przynajmniej kojarzysz jak się liczy pochodna z potegi

. : I to pisałem ja − wredulus

Atreus: Nie wiedzialem nawet, że tak można. To jest świetne. A jeszcze tak zapytam, bo nie jestem pewien, czy dobrze robie podstawienia, szczerze powiedziawszy.

	1		dy
Gdy mam ∫		dt i chce zrobic podstawienie y=6−t2, z czego dostaje, ze dt=		,
	6−t2		−2t

zatem po podstawieniu nadal mam w calce t. Czy moge teraz calkowac po dy, a t brac za stala, czy to bledne podstawienie

. : Żadne podstawienie ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

. : A ta całka (o której teraz wspominasz) była na tym forum nie dalej jak 3 dni temu

Atreus: Poszukam jej w takim razie. Jednak zadam odtatnie pytanie, czy to ma byc rozklad na ulamki proste, bo to latwiejsze rozwiazanie, czy, tak jak sadzilem, to moje podstawienie jest niepoprawne?

chichi:

	1		1		x − t
możesz zastosować wzór: ∫		dx =		ln|		| + C
	x2 − t2		2t		x + t

chichi: " zatem po podstawieniu nadal mam w calce t. Czy moge teraz calkowac po dy, a t brac za stala, czy to bledne podstawienie" spójrz na wzór, który podałem, a teraz sprawdź swoją "metodę" a się przekonasz. P.S. możesz także policzyć pochodną z otrzymanego wyniku i zobaczyć czy dostaniesz wyjściową funkcję podcałkową

Mariusz: Pytanie do wpisu z 16 sty 2023 10:47 Masz tam całkowanie przez części gdzie

	1
u = 5x+1 , dv =		dx
	(2x+1)2

	1		1
du = 5dx , v = −		*
	2		2x+1

Przy odrobinie wprawy możesz w ten sposób dość łatwo policzyć całkę w pamięci

Mariusz: Co do całki z wpisu 16 sty 2023 21:43 to zadałeś je w tym wątku https://matematykaszkolna.pl/forum/415815.html

Atreus: Okej, juz chyba wyjasniliscie mi wszystkie nieścisłości. Wszystkim jeszcze raz dziękuję za wyjaśnienia.