Równanie różniczkowe liniowe piotrek: pomoże ktoś z takim równaniem różniczkowym? robię je drugi raz i wychodzi tak samo, a jest raczej źle

	dy
równanie takie : x(1−x2)		+(2x2−1)y=ax3
	dx

i poprzez metodę uzmienniania stałej dochodzę do takiej postaci równania na C(x) :

	x2(x−2)		√x2−1
C'(x)+		C(x)=−ax
	1−x2		(1−x2)2

jak coś to wrzucę swoje rozwiązanie, ale dużo tego

chichi: przecież możesz to sam sprawdzić

piotrek: a jak mam to sprawdzić? trochę w sumie się dziwie, żadnej filozofii nie ma w tym równaniu a coś nie wychodzi po prostu schemat i tyle, zaraz spróbuję jeszcze raz

chichi:

	dy
masz wyznaczonego y, policz		i wstaw wszystko do wyjściowego równania i zobacz co
	dx

wychodzi

piotrek: dobra teraz mi się zredukowały te wyrazy, całkę doliczyłem i coś tam wyszło, ale pora spać, dzięki

Mariusz:

	dy
x(1−x2)		+(2x2−1)y=ax3
	dx

	dy
x(1−x2)		+(2x2−1)y=0
	dx

	dy
x(1−x2)		=−(2x2−1)y
	dx

dy		−(2x2−1
	=		y
dx		x(1−x2)

dy		2x2−1
	= −		dx
y		x(1−x2)

	2x2−1		2x(2x2−1)
∫−		dx =∫−		dx
	x(1−x2)		2x2(1−x2)

t = x² dt=2xdx

	2t−1		1		2t−1
∫		dt =		∫		dt
	−t(1−t)		2		t2−t

	2t−1		1
∫		dt =		ln|t2−t|+C1
	t2−t		2

	2x2−1		1
∫−		dx=		ln|x4−x2|+C
	x(1−x2)		2

y = Cx√x²−1 y(x) = C(x)x√x²−1

	x2
x(1−x2)(C'(x)x√x2−1+C(x)(√x2−1+		))+(2x2−1)C(x)x√x2−1=ax3
	√x2−1

	−x(x2−1)2−x3(x2−1)+x(2x2−1)(x2−1)
−x2(x2−1)√x2−1C'(x)+C(x)		= ax3
	√x2−1

	−x5+2x3−x−x5+x3+2x5−3x3+x
−x2(x2−1)√x2−1C'(x)+C(x)		= ax3
	√x2−1

−x²(x²−1)√x²−1C'(x) = ax³

	−ax
C'(x)=
	(x2−1)√x2−1

	−ax
∫		dx
	(x2−1)√x2−1

√x²−1=t−x x²−1=t²−2tx+x² −1 = t²−2tx 2tx = t² + 1

	t2 + 1
x =
	2t

	2t*2t−2(t2+1)
dx =		dt
	4t2

	t2−1
dx =		dt
	2t2

	2t2−t2−1
t−x =
	2t

	t2−1
t−x =
	2t

	8t3	t2+1	t2−1
−a∫				dt
	(t2−1)3	2t	2t2

	t2+1		1−t2+2t2
−2a∫		dt = −2a(∫		dt
	(t2−1)2		(t2−1)2

	1		(−t)(2t)
=−2a(−∫		+∫		dt)
	t2−1		(t2−1)2

	1		t		−1
=−2a(−∫		+(−		−∫		dt))
	t2−1		t2−1		(t2−1)

	1		t		1
=−2a(−∫		−		+ ∫		dt)
	t2−1		t2−1		t2−1

	2at
=		+C
	t2−1

	a
=
	√x2−1

	a
ys =		* (x√x2−1)
	√x2−1

y_s = ax y = y_j + y_s y(x) = C * x√x²−1 + ax

piotrek: Dzięki Mariusz za rozpisanie przykładu, jakieś głupie błędy tam robiłem wtedy i dlatego nie wychodziło Ogólnie to dosyć łatwy typ równań różniczkowych, najcięższa część to całka Kiedyś z tobą robiłem te równania różniczkowe więc te podstawy w miarę umiem, ale teraz mam kurs na studiach z równań więc cisnę żeby załapać 5.0 na koniec Przypominam sobie po kolei według tego co będziemy mieli na zajęciach

Mariusz: W wątku https://matematykaszkolna.pl/forum/385133.html napisałem spis tematów którymi się zajmowałem gdy samodzielnie czytałem o równaniach różniczkowych Prawdopodobnie część tematów należałoby dopisać a część dokładniej rozpisać Jakimi tematami z równań różniczkowych się do tej pory zajmowałeś Jeśli chodzi o skrypty z równań różniczkowych które są dostępne w sieci to masz tutaj: https://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0065/niedoba.pdf http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=25&wyd=10&jez=pl A tu masz kod programu w Pythonie do scalenia pdf https://pastebin.com/GeRYK6Gq Jeżeli nie będzie działać to wyrównaj wcięcia Ja kurs z równań różniczkowych bym zaliczył choć raczej nie na 5.0

piotrek: Do tej poryrównania jakie przerobiłem to: o rozdzielonych zmiennych, liniowe pierwszego rzędu jednorodne i niejednorodne, trochę równań Bernoulliego, teraz robię drugiego rzędu sprowadzalne do pierwszego poprzez podstawienie y'(x)=s(x), tzn. równania typu F(x,y'(x),y''(x))=0 Ogólnie zacznijmy od tego że nie jestem na kierunku matematycznym, mało zaawansowane równania różniczkowe robimy i nie ma tam żadnych typu Riccatiego, Lagrange czy zupełnych Skrypty potem przejrzę te co wysłałeś, ale raczej nie mam czasu na studiowanie książek z równań różniczkowych A spróbowałbyś takie równanie? a*y''(x)=y'(x)(1+(y'(x))²) Mi wyszło : y(x)=2*[(−a)*(1−C₁e^2x/a)^1/2]^1/2+C₂

Mariusz: au'=u(1+u²)

a
	du = dx
u(1+u2)

a(1+u2)−u2)
	= dx
u(1+u2)

a		au
	−		= dx
u		1+u2

2		2u		2
	−		=		dx
u		1+u2		a

	u2		2
ln|		|=		x + ln|C1|
	1+u2		a

u2		2
	= Ce		x
1+u2		a

1+u2		2
	= C1e−		x
u2		a

	1		2
1+		= C1e−		x
	u2		a

1		2
	= −1 + C1e−		x
u2		a

	1
u2 =
	2   −1 + C1e− x   a

	2   e x   a
u2 =
	2   −e x + C1   a

	1   e x   a
u = ±
	2   √−e x + C1   a

	1   e x   a
y' = ±
	2   √−e x + C1   a

	1   e x   a
∫		dx
	2   √−e x + C1   a

	1
t = e		x
	a

	1		1
dt =		e		xdx
	a		a

	a		a		1
∫		dt=		∫		dt
	√C1−t2		√C1		t   √1−( )2   √C1

	a		t
∫		dt=a*arcsin(		)+C2
	√C1−t2		√C1

	e1ax
y(x) = ± (a*arcsin(		)+C2)
	√C1