Wielomiany Maciess: m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1>0 Można to zwinąć w postac iloczynową przez grupowanie? Nie chodzi mi tu o skomplikowaną metode pana Mariusza, bo to dla mnie wyzsza szkoła jazdy

ICSP: Dla m ≠ 0 masz :

	1		1
m2 +		= (m −		)2 + 2
	m2		m

Rozważ przypadek gdy m = 0 Potem załóż m ≠ 0 podziel nierówność stronami przez m²

	1
Zastosuj podstawienie t = m −
	m

Maciess: Dzięki, spróbuje

ABC: Zauważyć ze wzoru (a+b+c)²=a²+b²+c²+2b+2ac+2bc ,ale to raczej wykracza poza szkołę średnią

ICSP: Już pierwsze słowo "zauważyć" wykracza poza szkołę średnią

ABC: na wszelki wypadek mu napiszę żeby mógł sprawdzić (m²+m−1)² >0 choć to podchodzi właściwie pod współczynniki nieoznaczone które stosuje Mariusz, więc on tego nie chciał

Maciess: Nie za bardzo wiem jak zastosować to podstawienie. Dzieląc otrzymalem

	1		1
m2+2m−2*		+		Jak tu wcisnąc to t?
	m		m2

mat: (m²+m−1)²=m⁴+m²+1−2m²−2m+2m³=m⁴+2m³−m²−2m+1

ABC: zgubileś gdzieś −1 w tym dzieleniu to raz 2(m−1/m)=2t m²+1/m²=t²+2

Maciess: Rozumiem otrzymałem

	1		1
m2+		+2(m−		)−1
	m2		m

t²+2+2t−1 t²+2t+1 (t+1)² Jak wstawie moje t to nie wygląda to jeszcze tak jak powinno

Mariusz: ABC to już nie mają łączności dodawania i wzorów skróconego mnożenia ? To mnie rozbawiłeś m⁴ + 2m³ − m² − 2 m + 1 (m⁴ + 2m³)−(m² + 2 m − 1) (m⁴ + 2m³+m²)−(2m²+2m−1) (m²+m)²−(2m²+2m−1)

	y		y
(m2+m+		)2−((y+2)m2+(y+2)m+		−1)
	2		4

(y²−4)(y+2)−(y+2)²=0 (y+2)(y²−4−(y+2))=0 (y+2)(y²−y−6)=0 (y+2)(y−3)(y+2) (m²+m−1)²

Mariusz: Wielomian czwartego stopnia można rozkładać iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych sprowadzając go najpierw do postaci różnicy kwadratów albo używając współczynników nieoznaczonych tzn wymnażając dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej i porównując współczynniki Jeśli zdecydujemy się na wymnażanie trójmianów kwadratowych to dobrze jest najpierw dobrać takie podstawienie aby suma pierwiastków była równa zero

Maciess:

	y
Nie rozumiem dlaczego w 5 linijcie pojawia się
	2

ABC: Maciess nie potrafisz dokończyć metodą ICSP? (t+1)²>0 t≠−1 m−1/m≠−1 co po pomnożeniu stronami przez m niezerowe m²−1≠−m m²+m−1≠0 i to samo wyszło co z tego rozkładu

ABC: Maciess w 5 linijce o 20:00 Mariusz bierze y/2 bo we wzorze są podwojone iloczyny

ICSP: m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1 = m²[m² + 2m − m + 2/m + 1/m²] = \\ t = m − 1/m \\ = = m²[t + 1]² = m²[m − 1/m + 1]² = [m(m − 1/m + 1)]² = (m² − 1 + m)²

Maciess: a bo dziś cos kiepsko z myśleniem... Dziękuje ABC i ICSP za pomoc Panu Mariuszowi również dziękuje, ale za zrozumienie i opanowanie tej metody wezme się dopiero za jakis czas

Mariusz: Wielomian w pierwszym nawiasie sprowadzasz do kwadratu korzystając z wzorów skróconego mnożenia ale zauważ że wielomian w drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym i musisz go sprowadzić do kwadratu korzystając z wyróżnika trójmianu kwadratowego Gdybyś od razu zaczął liczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego mogłoby się okazać że jest on różny od zera i dlatego musisz go uzależnić od jakiejś zmiennej

	y
więc w tym celu wprowadzasz nową zmienną np		tak jak u mnie
	2

	y
Wprowadziłem		bo ta dwójka będzie się skracać zarówno z tą dwójką
	2

ze wzoru skróconego mnożenia jak i z czwórką z wyróżnika trójmianu kwadratowego

Mariusz: http://bcpw.bg.pw.edu.pl/dlibra/docmetadata?id=1342 ABC widziałeś tę książkę ? Mam wątpliwości co do poprawności metody rozwiązywania równań równań trzeciego stopnia przedstawionej w tej książce Maciess Tylko w pewnych szczególnych przypadkach da się rozwiązać równanie czwartego stopnia bez rozwiązywania równania trzeciego stopnia Na równanie trzeciego stopnia kilka dość ciekawych zadań jest w zbiorze u Krysickiego i Włodarskiego

Mila: 1) Trochę teorii. Równanie : ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0 ,a≠0 nazywamy równaniem zwrotnymi rozwiązujemy dzieląc obie strony równania przez x²,

	1
a następnie stosujemy podstawienie : t=x+
	x

m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1=0 to równanie nie jest zwrotne. Ponadto : m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1≥0 2) Jeżeli nie zauważysz , że: m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1=(m²+m−1)² to możesz próbować jakoś grupować, albo przedstawić w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1=(m²+b*m−1)*(m²+c*m−1) P=m⁴+(b+c)*m³+(bc−2)*m²+(−c−b)*m+1 b+c=2 bc−2=−1 −c−b=−2 ==== b*c=1 i b+c=2 b*(2−b)=1 −b²+2b−1=0 b²−2b+1=0 (b−1)=0 b=1, c=1 ⇔m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1=(m²+m−1)² Δ Trochę długie, ale zrobione. 3) Przykłady równań zwrotnych: 3x⁴−4x³−14x⁶−4x+3=0 8x⁴+14x³−69x²+14x+8=0 Rozwiąż wg wskazówki z (1)

ABC: Mariusz tego jeszcze nie czytałem, ale spróbuję się zapoznać i się wypowiem

ABC: Mila ale metodę pokazaną przez ICSP również dawniej uczono w szkole średniej, ja miałem w LO to podstawienie jako "pseudozwrotne" czy jakoś tak

Mariusz: Mila problem w tym że wyrazy wolne tych trójmianów kwadratowych nie muszą być równe minus jeden Można użyć trzech współczynników nieoznaczonych ale wtedy suma pierwiastków powinna być równa zero Dla równań stopnia 5..9 to równanie zwrotne może być nawet przydatne ale dla równań do czwartego stopnia włącznie są lepsze metody

Mariusz: ABC u Sierpińskiego był odnośnik do Śniadeckiego Wypakowując stwórz sobie katalog aby ci nie zaśmieciło pulpitu

Maciess: @Mila Pytanie odnośnie rownań zwrotnych. ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0 m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1 Tutaj przecież współczynniki przy x³ i x są przeciwne. Nie powinny być takie same?

ICSP: ax⁴ + bx³ + cx² + bx +a = 0 − równanie zwrotne : podstawienie t = x + 1/x ax⁴ + bx³ + cx² −bx + a = 0 − równanie pseudozwrotne : podstawienie t = x − 1/x Znak przy c nie ma znaczenia w żadnym z powyższych typów

Maciess: ax⁴ + bx³ + cx² −bx −a = 0 Czy to też bedzie pseudozwrotne? I analogicznie ax⁴ + bx³ + cx² −bx −a = 0 tez?

Mila: Maciess Napisałam, że Twoje równanie nie jest zwrotne. Masz wyjaśnienie, to równanie pseudozwrotne. Mariusz Metoda rozkładu to metoda prób i nie zawsze skuteczna, ale coś trzeba robić

Mariusz: Jeśli przyjmiesz że a₄(x²+px+q)(x²+rx+s)=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ a jeszcze lepiej (y²−py+q)(y²+py+r)=y⁴+b₂y²+b₁y+b₀ to nie będzie to metoda prób i błędów oraz zawsze sprowadzi ona równanie czwartego stopnia do równania trzeciego stopnia Czasami można uniknąć równań trzeciego stopnia tak jak tutaj ale na ogół trzeba je rozwiązać aby rozłożyć wielomian czwartego stopnia Tutaj równanie trzeciego stopnia nawet jeśli wystąpiło to łatwo można było je pogrupować i wyciągnąć wspólny czynnik

Mariusz: Jeżeli chcesz się upewnić że wielomian nie ma pierwiastków wielokrotnych to liczysz NWD(W(m),W'(m)) i wielomian

W(m)
NWD(W(m),W'(m))

ma te same pierwiastki co W(m) tylko jednokrotne NWD(W(m),W'(m)) możesz policzyć algorytmem kolejnych dzieleń W(m)=m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1 W'(m)=4m³+6m²−2m−2 1/4m+1/8 m⁴ + 2 m³ − m² − 2 m + 1 : 4m³+6m²−2m−2 −(m⁴ +3/2m³− 1/2m²−1/2m) 1/2m³−1/2m²−3/2m+1 −(1/2m³+3/4m²−1/4m−1/4) −5/4m²−5/4m+5/4 m+1/2 4m³+6m²−2m−2:4m²+4m−4 −(4m³+4m²−4m) 2m²+2m−2 2m²+2m−2 0 zatem NWD(W(m),W'(m))=m²+m−1

Mariusz: ABC, Mila was chyba jeszcze uczyli pierwiastkować pisemnie Ten sam pomysł można zastosować do wielomianów

ABC: Mariusz mnie nawet uczyli trzeciego stopnia pierwiastek pisemnie wyciągać, miałem nawiedzoną nauczycielkę jak zreformowali program nauczania odeszła z zawodu mając chyba niecałe 50 lat bo nie mogła już w LO rozwiązywać równań różniczkowych

Maciess: Mila Przykłady które podałaś rozwiąże jutro, bo dziś niestety nawał nauki z innych przedmiotów.

Mariusz: Niezła ta nauczycielka a co do pierwiastków do wiedząc jak działa wyciąganie pierwiastków kwadratowych to sposób wyciągania pierwiastków trzeciego stopnia można sobie wyprowadzić (10a+b)²=100a²+20ab+b² (10a+b)²−100a²=20ab+b² (10a+b)²−100a²=(20a+b)b więc dla pierwiastka trzeciego stopnia mielibyśmy (10a+b)³=1000a³+300a²b+30ab²+b³ (10a+b)³−1000a³=300a²b+30ab²+b³ (10a+b)³−1000a³=(300a²+30ab+b²)b (10a+b)³−1000a³=((300a²+b²)+30ab)b Do powyższego można dorobić opis słowny Przejrzyj tę książkę co ci podesłałem Chciałbym wiedzieć czy znajdziesz to co budzi moje wątpliwości co do przedstawionej tam metody Pamiętasz mola książkowego z matematyka.pl Wygrzebał skądś całkiem ciekawą metodę rozwiązywania trzeciego stopnia analogiczną do metody Ferrariego i według mnie ona jest w porządku natomiast mam wrażenie że metoda z książki Śniadeckiego nie jest do końca poprawna

Mariusz: Sprawdziłem te równania podane przez Milę 3x⁴−4x³−14x²−4x+3=0 8x⁴+14x³−69x²+14x+8=0 i rozwiązując metodą Ferrariego , tj sprowadzając wielomian najpierw do różnicy kwadratów a później do iloczyny dwóch trójmianów kwadratowych dostajemy w każdym z tych równań równanie rozwiązujące trzeciego stopnia w którym łatwo wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias

Mariusz: ax⁴ + bx³ + cx² + bx +a = 0

	b		c		b
x4 +		x3+		x2+		x+1=0
	a		a		a

	b		c		b
(x4 +		x3)−(−		x2−		x−1)=0
	a		a		a

	b		b2		b2		c		b
(x4 + 2		x3+		x2)−(		x2−		x2−		x−1)=0
	2a		4a2		4a2		a		a

	b		b2		b2−4ac		b
(x4 + 2		x3+		x2)−(		x2−		x−1)=0
	2a		4a2		4a2		a

	b		b2−4ac		b
(x2+		x)2−(		x2−		x−1)=0
	2a		4a2		a

b

y

b2−4ac

b

b

y2

(x2+

x+

)2−((y+

)x2+(

y−

)x+

−1)=0

2a

2

4a2

2a

a

4

	y2		b2−4ac		b		b
4(		−1)(y+		)−(		y−		)2=0
	4		4a2		2a		a

	y		y		b2−4ac		b2		1
4(		−1)(		+1)(y+		)−		(		y−1)2=0
	2		2		4a2		a2		2

	y		y		b2−4ac		b2		1
(		−1)(4(		+1)(y+		)−		(		y−1))=0
	2		2		4a2		a2		2

	y		b2		c		b2		b2
(		−1)((2y+4)(y+		−		)−		y+		)=0
	2		4a2		a		2a2		a2

y

b2

2c

b2

4c

b2

b2

(

−1)(2y2+

y−

y+4y+

−

−

y+

)=0

2

2a2

a

a2

a

2a2

a2

	y		2c		2b2		4c
(		−1)(2y2+(4−		)y+		−		)=0
	2		a		a2		a

ax⁴ + bx³ + cx² −bx + a = 0

	b		c		b
x4+		x3+		x2−		x+1=0
	a		a		a

	b		c		b
(x4+		x3)−(−		x2+		x−1)=0
	a		a		a

	b		b2		b2−4ac		b
(x4+2		x3+		x2)−(		x2+		x−1)=0
	2a		4a2		4a2		a

	b		b2−4ac		b
(x2+		x)2−(		x2+		x−1)=0
	2a		4a2		a

b

y

b2−4ac

b

b

y2

(x2+

x+

)2−((y+

)x2+(

y+

)x+

−1)=0

2a

2

4a2

2a

a

4

	y2		b2−4ac		b		b
4(		−1)(y+		)−(		y+		)2=0
	4		4a2		2a		a

	y		y		b2−4ac		b2		1
4(		+1)(		−1)(y+		)−		(		y+1)2=0
	2		2		4a2		a2		2

	y		y		b2−4ac		b2		1
(		+1)(4(		−1)(y+		)−		(		y+1))=0
	2		2		4a2		a2		2

	y		b2		c		b2		b2
(		+1)((2y−4)(y+		−		)−		y−		)=0
	2		4a2		a		2a2		a2

y

b2

2c

b2

4c

b2

b2

(

+1)(2y2+

y−

y−4y−

+

−

y−

)=0

2

2a2

a

a2

a

2a2

a2

	y		2c		2b2		4c
(		+1)(2y2−(4+		)y−		+		)=0
	2		a		a2		a

Zatem dla równania zwrotnego łatwo równanie rozwiązujące rozłożyć więc jaka jest korzyść z jego stosowania dla równań do czwartego stopnia włącznie

Mariusz: ABC skoro w LO mieli równania różniczkowe to sporo materiału wycięli bo do równań różniczkowych potrzebne są pochodne i całki − w tym całki podwójne oraz wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki aby wykazać pewne własności przekształcenia Laplace Przyda się kilka całek nieelementarnych jak funkcja Γ Do odwracania przekształcenia Laplace może być przydatna metoda residuów Z algebry przyda się rozwiązywanie równań wielomianowych , rozkład funkcji wymiernej właściwej na sumę ułamków prostych ,liczby zespolone , rachunek macierzowy w tym wartości i wektory własne Przydatne też mogą być rozkłady macierzy takie jak rozkład LU, diagonalizacja czy rozkład Jordana Co do równań różniczkowych to wypisałem sobie tematy którymi można by się zająć 0. Pojęcia wstępne np rząd równania całka równania zagadnienie Cauchyego 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie jednorodne 3. Równanie liniowe 4. Równanie Bernoulliego 5. Równanie Riccatiego *gdy znana jest całka szczególna może być sprowadzone do liniowego pierwszego rzędu *gdy nie jest znana całka szczególna może być sprowadzone do liniowego drugiego rzędu ale wtedy już nie jest aż tak łatwo je rozwiązać *jest jeszcze tzw równanie Riccatiego specjalne i w pewnych szczególnych przypadkach może być ono sprowadzone do równania o rozdzielonych zmiennych 6. Równanie zupełne , czynnik całkujący 7. Równanie Lagrange *różniczkowanie stronami , wprowadzenie parametru, sprowadzenie do liniowego pierwszego rzędu 8. Równania drugiego rzędu sprowadzalne do równań pierwszego rzędu 9. Równanie liniowe wyższego rzędu o stałych współczynnikach 10. Równanie Eulera *równanie liniowe które podstawieniem może być sprowadzone do równania liniowego o stałych współczynnikach 11. Obniżanie rzędu równania liniowego 12. Uzmiennianie stałych *rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego przez rozwiązanie pewnego układu równań 13. Układy równań różniczkowych *metoda eliminacji *metoda Eulera (obliczanie wartości i wektorów własnych lub jak kto woli eksponenty macierzy) *metoda całek pierwszych − rozwiązywanie układów równań w postaci symetrycznej 14. Rachunek operatorowy *przekształcenie Laplace