pole Mik: Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym z AB=5, AD=17 i CD=6. Jeśli dwusieczne kątów BAD i ADC przecinają się w środku BC, oblicz pole ABCD.

a7:

Mik: A jak policzyc pole?

Mila: Masz jakąś odpowiedź?

Mila: 1)

	1
PABCD=		r*(17+6+5)=14r
	2

ΔBOM≡ΔCON −Δ prostokątne b=c 5+b+6+b=17 2b=6 ⇔b=c=3 2) r=? Na razie tyle mam.

Mik: nie mam odpowiedzi

Mila: Otrzymałam (nie podobają mi się rachunki): sin(2α)=1, wtedy r=8 ? Znajdę inne zależności. A7 −pomocy!

Mariusz: Z rysunku Mili wynika że czworokąt AMOP można podzielić na dwa trójkąty równoramienne

Mila: Mam. Napiszę.

A7: r=√21

Mik: Jak to rozwiazac

Mariusz: Dodatkowo nie widać z jakiego kryterium Mila skorzystała aby pokazać że trójkąty BOM i COM są przystające Mamy równość długości dwóch par boków oraz równość miar jednej pary kątów (to widać od razu) a chcemy pokazać równość długości trzeciej pary boków Tylko że ten kąt prosty nie pasuje do kryterium z dwoma bokami a nie wystarczy do kryterium z jednym bokiem

A7:

	r2
Z podobieństwa trójkątów ECM i EMF: b =
	3

	1
p =		(|AD| + |DF| + |AF|) połowa obwodu trójkąta ADF
	2

pole trójkąta ADF: pr = (wzór Herona) stąd r² = 21

Mariusz: A7 Z rysunku nie widać z jakiego kryterium korzystasz aby stwierdzić że trójkąty są podobne np równości miar kątów (widać tylko że obydwa trójkąty są prostokątne) Korzystasz z wyników Mili a ona też nie podała kryterium przystawania

A7: Kto bystry, to dostrzeże na rysunku potrzebne informacje. Nie chciałem wyjaśniać każdego kroku. Skorzystałem z obliczeń wcześniej tu przedstawionych.

	e		h		h2
Szkoła podstawowa: ΔBCD ∼ ΔCDA ⇒		=		⇒ f =
	h		f		e

Mariusz: No właśnie chodziło o uzasadnienie tych równości miar kątów zaznaczonych na rysunku z wpisu 23 wrz 2022 15:24 jako α

Mila: Miło A7 za włączenie się do problemu. W poprzednich obliczeniach mam błąd, stąd błędny wynik r=8. Licząc kilka razy uzyskałam wynik różny od poprzedniego (taki jak u Ciebie).

Mariusz: Nadal nie pokazujecie kryteriów z których korzystacie Mila − trójkąty przystające , A7 − trójkąty podobne Poza tym mam wątpliwości czy we wpisie z 23 wrz 2022 15:24 poprawnie oznaczył kąty bo z jego rysunku wynika że a=b a tak nie musi być

Mariusz: W trójkątach ΔFEC , ΔMEC , ΔFEM mamy raczej taką samą sytuację jak przy dowodzeniu twierdzenia Pitagorasa i niekoniecznie musi być to zgodne z rysunkiem z 23 wrz 2022 15:24

Mila: Mariusz Przystawanie trójkątów prostokątnych. Jeżeli w dwóch trójkątach prostokątnych dwa boki jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom drugiego trójkąta, a kąt prosty w jednym trójkącie jest położony względem tych boków tak samo, jak w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.

Mila: A7 oczywiście − dziękuję .

Mariusz: Jak się przeliczy miary kątów to widać równość miar kątów i dostaniemy podobieństwo trójkątów a co z tym wcześniejszym przystawaniem Mamy równość długości dwóch par boków (x oraz r na rysunku Mili) oraz równość miar jednej pary kątów (to widać od razu) a chcemy pokazać równość długości trzeciej pary boków Tylko że ten kąt prosty nie pasuje do kryterium z dwoma bokami a nie wystarczy do kryterium z jednym bokiem

a7: kim jest A7?

a7: czy to Eta?

Mariusz: Mila a to ja znam z kątem między dwoma bokami i z kątami przy jednym danym boku No to razem rozwiązaliście to zadanie

a7: hmmmm, nie widzę (po rysunkach), że to nie Eta

a7: no nic kimkolwiek jest A7 pozdrawiam

Mariusz: A7 przedstawia się jako mężczyzna więc wątpię (Tak w języku polskim można to stwierdzić po odmianie i między innymi dlatego uważam angielski za prymitywny)

Mila: Galimatias

Mariusz: Przez chwilę pomyślałem o tym przedłużeniu boków aby otrzymać trójkąt z okręgiem wpisanym i porównać wzory na pole powierzchni tego trójkąta jednak w chwili gdy o tym pomyślałem nie miałem pomysłu na długości boków trójkąta Po wtóre za bardzo skupiłem się na pomyśle który do niczego nie prowadził Tak więc rozwiązanie było w moim zasięgu bo gdybym skorzystał z tego pomysłu którego odrzuciłem to pewnie bym znalazł to podobieństwo trójkątów Mila a ta cecha przystawania trójkątów o której wspominałaś da się sprowadzić do cechy dla dowolnego trójkąta Zadanie jest już rozwiązane ale ciekaw jestem twojego sposobu rozwiązania (tam gdzie nie podobały ci się rachunki i wyszedł błędny wynik)

Mila: Mogę podać mój pierwszy sposób, też wychodzi tyle samo. Jednak skorzystałam później z wzoru Herona, bo ładnie się liczyło.

Mila: 1)

	1
PABCD=		*r*(17+6+5)=14r
	2

2) ΔBOM≡ΔCON −Δ prostokątne b=c 5+b+6+b=17 2b=6 ⇔b=c=3

	r		8
3) sinα=		, cosα=
	|AO|		|AO|

	8r
sinα*cosα=		, |AO|2=r2+64
	|AO|2

	16r
sin2α=
	r2+64

4) ΔBCS− Δrównoramienny, dwusieczna kąta S jest wysokością opuszczoną na BC r²=3*e, r=√3e 5)

	1		1		16√3e
PΔADS=		*17*(8+e)*sin2α=		*17*(8+e)*
	2		2		3e+64

	17*8*(8+e)√3e
(*) PΔADS=
	3e+64

lub

	17+17+2e
p=		=(17+e)
	2

(**)P_ΔADS=p*r=(17+e)*√3e Porównanie pól:

17*8*(8+e)√3e
	=(17+e)*√3e
3e+64

136*(8+e)=(17+e)*(3e+64) stad e=7 r²=3*7=21 r=√21 =================== Jeżeli zastosujesz zamiast wzoru (*) wzór Herona na pole to masz: P_ΔADS=√(17+e)*(17+e−17)*(17+e−8−e)*(17+e−9−e) P_ΔADS=√(17+e)*e*9*8 Porównanie z (**) √72*(17+e)*e=(17+e)*√3e, e>0 21e=3e² 3e=21, r²=21 ===========

Mariusz: r²=3*e to z trójkątów podobnych Sytuacja taka jak u A7 I to był twój pierwszy pomysł bo wyglądało na to że najpierw liczyłaś sin(2α) a potem dopiero r

Mila: Twierdzenie: W trójkącie prostokątnym kwadrat wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest równy iloczynowi długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną. h²=x*y Dowód z podobieństwa trójkątów

Mila: Wyrażałam sin2α za pomocą odpowiednich odcinków, aby zastosować do obliczenia pola ΔADS, potem porównać z innym wzorem na pole w celu wyznaczenia wartości e od której uzależniłam r.

A7: dla Ety

Mariusz: Zostałeś z nią pomylony

a7: nic ja tylko na wszelki wypadek dopowiem raz jeszcze ja jestem kim innym niż A7, ale to chyba celowy galimatias

Mariusz: A co odnosisz wrażenie że Mila cię z nim pomyliła Dziwne bo chyba widzi nasz numer IP

A7: Podpowiedź https://matematykaszkolna.pl/forum/414336.html i pozdrawiam a7

a7: