całka niewymierna anonim123:

	dx
jak policzyć całkę z ∫		wyznaczyłam z funkcji kwadratowej x należy do
	√1−x2*(x−1)2

przedziału

	1
(−1,1) x=1+		jak wyznaczyć przedziały z t
	t

kerajs:

	1
Proponuję podstawienie: t=
	x−1

anonim123:

	1
wyszło mi coś takiego −1<1		<1 co z tym dalej zrobić?
	t

anonim123: https://zapodaj.net/2c58ca73dc75c.jpg.html co dalej?

kerajs: Sorry, odpowiedziałem tylko na fragment ''jak policzyć całkę z'' i nie czytałem dalej, Widzę że już masz takie podstawienie. To o co pytasz:

	1
−1<1+		<1
	t

	1
−2<		<0
	t

1		1
	>t>
−2		0−

1
	>t> −∞
−2

	−1
t<
	2

anonim123: A może ktoś napisać jak po kolei to policzyć szczegółowo ?😏

Mariusz:

	1
∫		dx
	√1−x2(x−1)2

√1−x²=(1−x)t 1−x² = (1−x)²t² (1−x)(1+x) = (1−x)²t² 1+x = (1−x)t² 1+x = t² − xt² x+xt² = t² − 1 x(t²+1) = t² − 1

	t2 − 1
x =
	t2+1

	t2+1−2
x =
	t2+1

	2
x = 1 −
	t2+1

	0*(t2+1)−2t*(−2)
dx =		dt
	(t2+1)2

	4t
dx =		dt
	(t2+1)2

	2
x−1 = −
	t2+1

	4
(x−1)2 =
	(t2+1)2

	2t
(1−x)t =
	t2+1

	t2+1	(t2+1)2	4t
∫				dt
	2t	4	(t2+1)2

1
	∫(t2+1)dt
2

1		t3
	(		+t)+C
2		3

	1		(1−x2)√1−x2		3√1−x2
=		(		+		)+C
	6		(1−x)3		(1−x)

	1		(1+x)√1−x2		3√1−x2
=		(		+		)+C
	6		(1−x)2		(1−x)

	1		(1+x)√1−x2		3(1−x)√1−x2
=		(		+		)+C
	6		(1−x)2		(1−x)2

	1		(2−x)√1−x2
=		(		)+C
	3		(1−x)2

anonim123: Chodziło mi o wyjaśnienie postu z 21:26

Mariusz: Kerajs tę nierówność wziął z tego że wyrażenie pod pierwiastkiem powinno być dodatnie Dlaczego dodatnie a nie nieujemne − bo występuje w mianowniku Dalej to tylko przekształcanie tej nierówności

chichi:

	2
liczenie pochodnej z −		ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji, jest równie głupie
	t2 + 1

	x
jak liczenie z tego samego wzoru pochodnej z
	2

anonim123: Ale skąd mam wiedzieć w przekształceniach nierówności jakie jest t?

kerajs: To może inny sposób : −1<x<1

	1
−1<1+		<1
	t

jest to układ dwóch nierówności:

	1		1
−1<1+		∧ 1+		<1
	t		t

rozwiąż każdą z n ich oddzielnie i wskaż część wspólną rozwiązań. Co do całki:

	1		1		− dt
t=		⇒ x=1+		⇒ dx=
	x−1		t		t2

	dx		1
∫		=[t=		]=
	(x−1)2√1−x2		x−1

	− dt   t2   t2		|t|(−dt)
=∫		=∫		=
	− 1   1   √ ( 2+ )   t   t		√−2t−1

	tdt		−1		tdt
= −sgn(t) ∫		=[t<		]=∫		=...
	√−2t−1		2		√−2t−1

anonim123: chodzi mi o to że tutaj w 18:50 https://matematykaszkolna.pl/forum/414466.html mi źle wychodziło bo t było ujemne jak teraz mam to sprawdzić?

kerajs: Dopisałem tam adekwatne remedium.

anonim123: czyli mam rozpatrzeć przypadki t>0 i t>0? co oznacza sgn(t)?

Mariusz: Jak po łacinie nazywany jest znak ?

Mariusz: Poza tym tutaj jak pokazałem najlepiej sprawdza się trzecie podstawienie Eulera bo masz po podstawieniu całkę z potęgi i nie musisz korzystać z tych dziwacznych funkcji

anonim123:

	1
wyszło mi coś takiego z nierówności 0<t+2t2 i z tego t>0 i t<−		i z drugiej nierówności
	2

t<0 dobrze? czyli przypadki t>0 i t<0

anonim123: https://zapodaj.net/095e134bfd88c.jpg.html czy to jest dobrze?

kerajs: @anonim 123 ad 22:09 z pierwszego wyszło: t>0 lub t<−0,5 a z drugiego: t<0 częścią wspólną tych rozwiązań jest: t<−0,5 ad 22:36 Niedobrze. W wyniku nie tylko brakuje pierwiastka, ale jest nadmiarowy kwadrat. Powinno być: √(−1−2t)/t². Pokazałem to w poscie o 11:46.

kerajs: ''Mariusz: Poza tym tutaj jak pokazałem najlepiej sprawdza się trzecie podstawienie Eulera bo masz po podstawieniu całkę z potęgi i nie musisz korzystać z tych dziwacznych funkcji' Fakt, pokazałeś. Każdy widzi o ile to najlepiej jest krótsze i mniej skomplikowane. A prostota wyrażenia podcałkowego otrzymanego po podstawieniu wręcz powala. sgn(x) − znak x |x|=sgn(x) *x

anonim123:

	t
A jak policzyć całkę z ∫		?
	√−1−2t

Mariusz: No tak funkcja potęgowa jest najtrudniejsza do scałkowania A to już od ciebie zależy możesz albo jeszcze raz podstawić za pierwiastek a możesz całkować przez części

Mariusz: "jest krótsze i mniej skomplikowane" Na pewno nie jest skomplikowane a czy jest dłuższe − jeżeli uwzględnimy w rozwiązaniu zaproponowanym przez Kerajsa konieczność ustalania dziedziny oraz kolejnego podstawienia to będzie to wątpliwe

kerajs: ''Na pewno nie jest skomplikowane '' Nie będę się o to spierał. Każdy może przeanalizować oba rozwiązania, a jeszcze lepiej policzyć samemu, i wyrobić sobie zdanie na temat ''skomplikowania'' rozwiązania. ''jeżeli uwzględnimy (...) konieczność ustalania dziedziny'' Fakt, można sobie dziedziny nie ustalać, a nawet nie wiedzieć że należy to robić. Np: o 21:59 napisałeś (druga linjka) : √1−x²=(1−x)t Uważasz, że bez założeń jest to poprawny zapis? ''jeżeli uwzględnimy (...) konieczność (...) kolejnego podstawienia'' Sądziłem, że to jest trywialne, jednak post anonimowej123 pokazał jak bardzo się myliłem.

anonim123: dziękuję

Mariusz: "Sądziłem, że to jest trywialne, jednak post anonimowej123 pokazał jak bardzo się myliłem." I dlatego nigdy nie będziesz dobrym nauczycielem

Mariusz: Niech x∊ℛ Podstawienie √1−x²=(1−x)t będzie dobre gdy −1≤x<1 Jeżeli przedział całkowania będzie zawierał x = 1 to dostaniemy całkę niewłaściwą

kerajs: Ad 19:24 Czyżbyś anonima123 była kolejną Twoją protegowaną? Podobnie jak w przypadku poprzedniego pupila (Damiana#cośtam) nie zamierzam jej uczyć. Dopuszczam, że ma licealne braki (bo może maturę robiła kilka lub kilkanaście lat temu) , jednak nie rozumiem dlaczego nie umie rozwiązać całki niewymiernej z dwumianem pod pierwiastkiem, podczas gdy rozwiązuje całki z trójmianem kwadratowym pod pierwiastkiem. Pewnie, jako dobry nauczyciel, potrafisz wyjaśnić ten paradoks. Ad 18:49 Przypadkowo zapomniałeś określić dziedzinę zmiennej t.