równania kwadratowe z parametrem - działania niezgodne z założeniami?
no i Pan Paweł...: Cześć!
mam problem z zadaniem 393 ze zbioru maturalnego Kiełbasy. Zadanie brzmi: Wyznacz wartości
| | x2 +8x + m | |
param. m, dla których równanie |
| = 0 ma jedno rozwiązanie. |
| | x+3 | |
No i spoko, robię sobie fajne założenia, m∊R, x≠−3, wszystko super. Liczę Δ, wychodzi m=16. W
odpowiedziach jest dodatkowo, że m∊{15,16} ! Dlaczego?
Niech ktoś mi to wytłumaczy, bo nie ogarniam. Na innej stronie z rozwiązaniem (
https://odrabiamy.pl/matematyka/ksiazka-12297/strona-76/zadanie-996659) jakaś pani
rozwiązuje dla Δ>0, bo zakłada, że jednak x może być równe −3..? O co tu chodzi? xd
2 sty 19:20
wredulus_pospolitus:
1) Δ > 0 ∧ x1 = −3
2) Δ = 0 ∧ x1,2 ≠ −3
takie dwa przypadki należy rozpatrzeć.
Podejrzewam, że zapomniałeś o jednym z nich
2 sty 19:27
wredulus_pospolitus:
zauważ, że dla m=15 mamy:
| x2+8x + 15 | | (x+5)(x+3) | |
| = |
| = x+5 = 0 <−−−− jedno rozwiązanie (x = −5) |
| x+3 | | x+3 | |
czyż nie
2 sty 19:28
no i Pan Paweł...: dobra, tutaj piszą czemu:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=66904
ale nie ogarniam dalej jednej rzeczy, mianowicie: czemu w ogóle
dopuszczamy tę opcję xD? Czy nie napisaliśmy w założeniach, że x≠3
2 sty 19:30
no i Pan Paweł...: o, momencik, czytam
2 sty 19:31
a7: ΔΔΔD:x≠−3
x2+8x+m=0
Δ=64−4m Δ=0 ⇒m=16
x=U{−8±√64−4m{2}=−4±2√16−m =x=−2
teraz, ponieważ mamy mianownik to bierzemy dla jakiego m x=−3 to wtedy z dwóch rozwiązań jedno
odrzucamy i także mamy jedno rozwiązanie
Δ>0 czyli m<16
(−3)2+8*(−3)+m=0 ⇒ m=15
wtedy x1=−3 (nie należy do dziedziny więc nie jest rozwiązaniem) lub x2=−5
2 sty 19:35
no i Pan Paweł...: @wredulus
pospolitus, no ok, fajnie, że dla m=15 mamy tę liczbę, ale w innym zadaniu tą liczbą
może być np 53. Skąd mam znaleźć tą liczbę? Nie rozumiem zakładasz tu, że jest drugie
rozwiązanie. W treści jest jasno o jedynym rozwiązaniu...
2 sty 19:35
no i Pan Paweł...: zgodnie z założeniem...
2 sty 19:35
a7: ponieważ właśnie szukasz m dla tego iksa z mianownika x=−3 czyli m=15
2 sty 19:40
a7: a licznik ma dwa rozwiąznia, z których jedno odrzucasz, bo jest sprzeczne z dziedziną całego
(nietypowego trochę ) wyrażenia
2 sty 19:41
no i Pan Paweł...: ok, a możesz wytłumaczyć, czemu szukam dla tego Xsa? przecież odrzuciłem go w założeniach
2 sty 19:49
a7: tylko upewniasz się, że delta jest wtedy większa od zera (Δ>0) tzn. m<16
2 sty 19:49
a7: tak
2 sty 19:50
a7: bo masz nietypowe wyrażenie, a nie "czyste" równanie kwadratowe
2 sty 19:50
no i Pan Paweł...: no nie, △=0 przecież...
2 sty 19:51
a7: i gdybyś rozpatrywał tylko równanie kwadratowe to by bylo m=16 koniec
2 sty 19:51
no i Pan Paweł...: skoro szukamy m, kiedy to równanie ma 0 rozw, więc Δ musi być =0
2 sty 19:51
a7: ale ponieważ masz ten mianownik x+3, który nie może być równy zero to masz x≠−3
i teraz chodzi o to, że jeżeli to górne równanie kwadratowe będzie miało dwa rozwiązania (Δ>0
czyli m<16)
to jednoz tych rozwiązań (−3 dla m=15) odrzucasz bo nie wlicza się −3 do dziedziny i masz
jedno rozwiązanie −5 dla całego wyrażenia
2 sty 19:54
a7: ponieważ x jest w mianowniku więc jest "podpucha"
2 sty 19:54
no i Pan Paweł...: czyli założenie Δ=0 jest błędne, bo to CAŁE RÓWNIANIE ma mieć 1 rozw. a nie tylko licznik?
2 sty 19:55
a7: Δ=0 dla m=16 i gdyby x było wtedy równe −3 (ale jest równe −2) to wtedy by to też odpadało i
tylko m=15 by się liczyło
2 sty 20:00
I'm back:
Chłopie... o 19.27 masz napisane założenia które masz rozpatrzeć.
2 sty 20:04
a7:
też musiałbyś rozwpatrywać inaczej niż jak samo równanie kwadratowe
zał x≠0
licznik x(x−1)=0 gdy x=0 lub x=1 ale 0 odpada z dziedziny więc jest (tylko) jedno rozwiązanie
2 sty 20:13
2 sty 20:55