Całka oznaczona. sk222: Bardzo proszę o pomoc z całką:

	2x−11x
∫		dx na przedziale x∊[0,1]
	2x+5x

a7:

20−110
	=0
20+50

21−111
	=−9/7
21+51

∫=0−(−9/7)=9/7 (?)

sk222:

	2
Odp: 1−
	ln3

a7: ja całkiem zapomniałam, że trzeba znaleźć funkcję pierwotną....

sk222: Ktoś miałby pomysł jak tu pierwotną znaleźć?

a7: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%28%282%5Ex-11%5Ex%29%2F%282%5Ex%2B5%5Ex%29%29dx+from+0+to+2

a7: przedział [0, 1] https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%28%282%5Ex-11%5Ex%29%2F%282%5Ex%2B5%5Ex%29%29dx+from+0+to+2

a7: pomysłu na pierwotną niestety nie mam

a7: @Mariusz nie umiałbyś takiej całki bo Wolfram podaje szereg Taylora, jeśli dobrze wpisałam

Mariusz:

	2x+5x		2xln(2)+5xln(5)
a∫		dx+b∫		dx
	2x+5x		2x+5x

a+bln(2)=1 a+bln(5)=0

	2
b ln(		)=1
	5

	1
b=
	2   ln( )   5

a=−bln(5)

	ln(5)
a=−
	2   ln( )   5

	1
b =
	2   ln( )   5

	2x		ln(5)		1
∫		dx=−		x+		ln|2x+5x|
	2x+5x		2   ln( )   5		2   ln( )   5

Zostaje jeszcze do policzenia całka

	11x
∫		dx
	2x+5x

Mariusz: Z drugiej strony możliwe że nie potrzeba nieoznaczonej liczyć

a7: nie rozumiem...czy mógłbyś wyjaśnić?

mat: Na jakim poziomie jest to zadanie? Jaki przedmiot/rok? Czy miałeś całki zespolone?

Mariusz: Co do nieoznaczonej to właśnie z tą całką co mi została może być problem choć Mita ma całkiem niezłe pomysły na całki Co do tego że nie trzeba liczyć nieoznaczonej to np wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki czasami pomaga albo rozkład na sumę funkcji parzystej i nieparzystej Aby zastosować ten pomysł z rozkładem funkcji podcałkowej na sumę funkcji parzystej i nieparzystej trzeba całkowany przedział trzeba sprowadzić do przedziału symetrycznego względem zera

sk222: oj całek zespolonych nie miałem, jestem na pierwszym roku. W poleceniu jest napisane, że z twierdzenia Newtona−Leibniza, więc jeśli dobrze rozumiem to pierwotne trzeba znaleźć

mat: a skad takie zadanie? Ksiązka/z zajęć?

Mariusz: Jak z Newtona−Leibniza to pierwotną trzeba znaleźć tyle że znalezienie pierwotnej funkcji

11x
	będzie problematyczne
2x+5x

sk222: z zestawu zadań przygotowanego przez prowadzącą

mat: to bardzo ciekawe...

a7: no to wygląda na to, że prowadząca przedobrzyła (? ? ?)

sk222: @mat ojj tak, niektóre przykłady z tych zestawów są naprawdę baardzo ciekawe, ale cóż poradzić, taki kierunek dzięki wielkie za pomoc tak czy tak

Mariusz: Zadanie by się bardzo uprościło gdyby zamiast 11^x było 5^x

mat: wynik nie zgadza sie tez z całkąa wyznaczoną numerycznie − podany przez ciebie wynik to ok −0.82 wolfram podaje jednak ze powinno to byc ok −0.56

Mariusz: mat a czy tej całki nie dałoby się do Bety sprowadzić Co miałeś na myśli z tymi zespolonymi

Mariusz: a nie Beta jednak odpada

a7:

	2x−(2*11/2)x		1−(11/2)x
∫		=∫		=
	2x+(5/2)x		1+(5/2)x

a może tak to zacząć przekształcać (?)

Mariusz: Chyba wyjdzie ci na to samo co u mnie

	11x
bo na razie nie widzę pomysłu na całkę ∫		dx
	2x+5x

	1
U ciebie jest podobnie bo o ile całkę ∫		stosunkowo łatwo byś policzył
	5   1+( )x   2

	11   ( )x   2
to całkę −∫		dx będzie trudniej policzyć no chyba że masz
	5   1+( )x   2

pomysł na dalsze przekształcenia

a7: jeśli mówisz do mnie (tak rozumiem) to nie umiem dalej policzyć, to był tylko luźno rzucony pomysł, który może by kogoś na coś naprowadził.

Mariusz: Mat proponował coś z zespolonymi jednak nie napisał nic więcej nie wiadomo nawet czy chciał najpierw liczyć nieoznaczoną czy od razu oznaczoną

Mariusz: Jeżeli chodzi o wartość numeryczną to łatwo napisać program np w C# do metody trapezów

a7: raczej wygląda to na pracę domową lub przygotowanie do zaliczeń, także nie wiem czy metoda trapezów (czymkolwiek jest) pomoże

Mariusz:

	11x
Co do całki ∫		dx
	2x+5x

to można by zapisać ją jako

	exln11
∫		dx
	exln5+exln2

e^x=t e^xdx=dt tdx=dt

	dt
dx=
	t

	tln11
∫		dt
	t1+ln5+t1+ln2

	tln11
∫		dt
	t1+ln2(1+tln5 − ln2)

	tln(5.5)−1
∫		dt
	1+tln(2.5)

	1
∫tln(11/(2e))*		dt
	1−(−tln(2.5))

i teraz może rozwinąć funkcję podcałkową w szereg tyle czy przedział zbieżności tego szeregu będzie pokrywał się z przedziałem po którym całkujemy ?

chichi: @Mariusz jak sprawdzałem wynik w wolframie, to jest różny od tego z 20:20 więc albo prowadzący się kopnął, albo autor przepisał źle całkę, bo wszystko tu wygląda podejrzanie

Mariusz:

	11x
chichi a ty masz jakiś pomysł na tą całkę ? (wystarczy tylko całka ∫		dx)
	2x+5x

Mat wspominał coś o zespolonych

	2x
Całkę ∫		dx już policzyłem
	2x+5x

	2x−5x
Gdybyśmy mieli całkę ∫		dx zamiast całki
	2x+5x

	2x−11x
∫		dx to by było znacznie łatwiej ją policzyć
	2x+5x

jednak wynik całki na podanym przedziale też byłby różny od tego z odpowiedzi

chichi: @Mariusz coś tam próbowałem, ale bez większego rezultatu, do całek zespolonych jeszcze nie dobrnąłem więc w tym temacie się nie wypowiem, ale jedno jest pewne, jeśli Ty nie jesteś w stanie jej policzyć, to ja nawet nie mam co próbować, bo w całkach Ci do pięt nie dorastam, ale pomyślę jeszcze nad nią, szukałeś może coś w necie, jakiejś podobnej całki?

Mariusz: E tam masz już pewnie podwójne , potrójne , krzywoliniowe , powierzchniowe czyli i tak więcej niż ja bo ja tylko pojedyncze miałem Niby tam trochę ponad to co miałem w szkole sobie poczytałem np u Fichtenholza ale przećwiczone to mam tylko pojedyncze

	11x
Można by spróbować rozwinąć funkcję		w szereg
	2x+5x

tylko mógłby on nie być szeregiem potęgowym Poza tym powinien być zbieżny na przedziale <0;1>

chichi: @Mariusz właśnie jestem po pierwszych zajęciach za całek podwójnych liczonych dopiero po prostokątach, na kierunku matematyka ten program tak szybko nie przebiega

Mariusz : Ja chodziłem na zaoczne informatyki 2004−2008 , jeden rok dłużej przez problemy z pracą (matura 2000 więc na informatykę nie poszedłem od razu bo najpierw myślałem nad nauczycielskimi fizyki i matematyki a później poszedłem do policealnej aby dostać zawód, bo te policealne to nadal średnie są) i nie miałem z analizy nic więcej ponad to co w średniej Natomiast teraz na informatyce stosowanej matematykę mają tylko na jednym roku i z analizy im wewalili ciągi granice szeregi pochodne całki pojedyncze (nieoznaczone,oznaczone , niewłaściwe) całki podwójne całki potrójne równania różniczkowe (równania pierwszego rzędu, drugiego rzędu , układy równań różniczkowych, przekształcenie Laplace) Wywalili im funkcje tworzące za to mieli przekształcenie Z Jeżeli chcemy rozwiązywać równania rekurencyjne to wg mnie funkcje tworzące są nieco wygodniejsze w użyciu niż przekształcenie Z Po wstawieniu funkcji tworzącej do równania rekurencyjnego liniowego staramy się przedstawić funkcję tworzącą w postaci sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych Jeśli współczynniki nie są stałe to wstawiając funkcję tworzącą możemy dostać równanie różniczkowe które także będzie równaniem liniowym Spis tematów dla równań różniczkowych wypisałem tu na forum (przynajmniej tych o których ja czytałem) Jeżeli chcesz sobie w ferie poczytać o równaniach różniczkowych to spis tematów masz tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/385133.html Gdy ja czytałem o równaniach różniczkowych to korzystałem z kilku podręczników,skryptów Czasem zdarzało mi się zajrzeć także do tych po rosyjsku (ale głównie to z tych po polsku korzystałem)

chichi: @Mariusz już dawno sobie zapisałem te Twoje podpunkty w notatniku, w następnym semestrze będę miał przedmiot 'równania różniczkowe' to dopiero będę wkraczał w ten zawiły świat

Mariusz: W tamtym wątku przedstawiłem spis tematów zgodny z tym jaki podają w podręcznikach i skryptach ale jeżeli chodzi o równania pierwszego rzędu to można było je pogrupować też trochę inaczej Pojęcia wstępne to swoją drogą o nich musiałbyś poczytać najpierw Spośród równań pierwszego rzędu wyróżniamy trzy podstawowe typy do których będziemy sprowadzać pozostałe omawiane typy równań 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych Równanie postaci y'=f(x)g(y) nazywamy równaniem o rozdzielonych zmiennych Czasami równanie nie będzie od razu w tej postaci ale można będzie do niej doprowadzić np przenosząc wyrazy na drugą stronę i rozkładając na iloczyn Gdy mamy równanie w postaci y'=f(x)g(y) to dzielimy obustronnie przez g(y) ≠ 0 i całkujemy obustronnie Na koniec sprawdzamy czy przez założenie g(y) ≠ 0 nie straciliśmy rozwiązań 2. Równanie różniczkowe liniowe Równanie postaci y'+p(x)y=q(x) Czy lewa strona równania nie przypomina ci wzoru na pochodną iloczynu ? Można sprawić aby lewa strona naprawdę była pochodną iloczynu W tym celu mnożysz równanie przez pewną nieznaną funkcję y'+p(x)y=q(x) | μ(x) μ(x)y'+p(x)μ(x)y=μ(x)q(x) Teraz porównujesz lewą stronę równania ze wzorem na pochodną iloczynu μ(x)y'+p(x)μ(x)y f'(x)g(x)+f(x)g'(x) Teraz możemy przyjąć że f(x)=y(x) dalej porównujemy nie tyle g(x) co g'(x) Z pierwszego składnika mamy g'(x)=μ'(x) z drugiego składnika mamy g'(x)=p(x)μ(x) Zatem aby wyznaczyć nieznaną funkcję rozwiązujemy równanie różniczkowe μ'(x)=p(x)μ(x) Jest ono typu z poprzedniego punktu

	μ'
Mamy zatem		= p(x)
	μ

ln|μ| = ∫p(x)dx μ(x) = e^∫p(x)dx μ(x)y'+p(x)μ(x)y=μ(x)q(x) (e^∫p(x)dx y)' = e^∫p(x)dx q(x) e^∫p(x)dx y = ∫e^∫p(x)dx q(x)dx y = e^−∫p(x)dx ∫e^∫p(x)dx q(x)dx Innym sposobem rozwiązania tego równania jest tzw uzmiennianie stałej Rozwiązujesz najpierw pomocnicze równanie y'+p(x)y=0 Jest to równanie typu z poprzedniego punktu Załóżmy że y₁ jest jakimś rozwiązaniem równania y'+p(x)y=0 Zakładamy że rozwiązanie równania y'+p(x)y = q(x) jest w postaci y=C(x)y₁ i wstawiamy to do równania Wtedy rozwiązanie równania liniowego jest sumą wszystkich rozwiązań tego pomocniczego równania i jednego szczególnego rozwiązania znalezionego za pomocą tzw uzmiennienia stałej 3. Równanie zupełne Przypomnijmy sobie jak zdefiniowana jest różniczka zupełna dwóch zmiennych

	δF		δF
dF =		dx+		dy
	δx		δy

Teraz przypomnijmy sobie twierdzenie Schwarza o tym że przy pewnych założeniach pochodne mieszane są równe

δF		δF
	=
δxδy		δyδx

Mamy teraz równanie postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 Teraz spoglądając na postać różniczki zupełnej mamy że

δF		δF
	=P(x,y) oraz		=Q(x,y)
δx		δy

Z twierdzenia Schwarza wynika warunek na to aby równanie postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 było równaniem zupełnym

	δP		δQ
czyli		=
	δy		δx

Gdy masz równanie postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 i podejrzewasz że może być ono zupełne to najpierw sprawdzasz warunek

δP		δQ
	=
δy		δx

Gdy okaże się że warunek ten zachodzi to rozwiązujesz układ równań

δF
	=P(x,y)
δx

δF
	=Q(x,y)
δy

Jak tan układ rozwiązujesz − otóż wybierasz z tego układu jedno z równań i je całkujesz Dostajesz wtedy pewną funkcję F(x,y) w której rolę stałej pełni funkcja która nie jest zależna od zmiennej po której całkowałeś Aby wyznaczyć tę funkcję wstawiasz funkcję do równania którego jeszcze nie wybrałeś Wtedy F(x,y)=C jest rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Uwagi co co sprowadzania równań jednego typu do równań innego typu Znam tutaj trzy metody 1. Podstawienie Tutaj np równanie postaci

	y
y'=f(		)
	x

	a1x+b1y+c1
y'=f(		)
	a2x+b2y+c2

Licząc pewien wyznacznik możesz sprowadzić to równanie najpierw do równania wymienionego powyżej

	y
y'=f(		)
	xα

sprowadzasz do równania o rozdzielonych zmiennych (z punktu 1) Równania takie jak y'+p(x)y=q(x)y^r y'=p(x)y²+q(x)y+r(x) , przy założeniu że znana jest jedna konkretna funkcja spełniająca to równanie sprowadzasz do równania liniowego (z punktu 2) Gdy równanie jest postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ale nie zachodzi warunek

	δP		δQ
wynikający z tw Schwarza tj		=
	δy		δx

to możesz pomnożyć równanie przez czynnik całkujący μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dy=0

	δμ(x,y)P(x,y)		δμ(x,y)Q(x,y)
i teraz zażądać aby		=
	δy		δx

Na ogół to równanie trudno rozwiązać , natomiast upraszcza się ono gdy założymy że μ(x,y) jest określonej postaci Najłatwiej nam znaleźć czynnik całkujący gdy jest on zależny od jednej zmiennej μ(x,y) = f(x) μ(x,y) = g(y) Nieco trudniej jest gdy czynnik całkujący jest postaci μ(x,y)=φ(x)ψ(y)

δφ(x)ψ(y)P(x,y)		δφ(x)ψ(y)Q(x,y)
	=
δy		δx

	dψ		δP		dφ		δQ
φ(x)(		P(x,y)+ψ(y)		)=ψ(y)(		Q(x,y)+φ(x)		)
	dy		δy		dx		δx

	dψ		δP		dφ		δQ
φ(x)		P(x,y)+φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)+ψ(y)φ(x)
	dy		δy		dx		δx

	δP		δQ		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)		−ψ(y)φ(x)		=ψ(y)		Q(x,y)−φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

δP

δQ

dφ

1

dψ

1

φ(x)ψ(y)(

−

)=φ(x)ψ(y)(

*

)Q(x,y)−

*

P(x,y))

δy

δx

dx

φ(x)

dy

ψ(y)

δP		δQ		dφ		1		dψ		1
	−		=		*		)Q(x,y)−		*		P(x,y)
δy		δx		dx		φ(x)		dy		ψ(y)

Jeżeli teraz przyjmiemy że

dφ
	=f(x)dx ,
φ

oraz

dψ
	=g(y)dy
ψ

to otrzymamy

δP		δQ
	−		=Q(x,y)f(x)−P(x,y)g(y)
δy		δx

Jeżeli uda nam się dobrać takie f(x) oraz g(y) aby była spełniona powyższa równość to uda nam się znaleźć czynnik całkujący o ile będziemy potrafili policzyć potrzebne całki Innym pomysłem na czynnik całkujący jest założenie że jest on postaci μ(x,y)=G(ω(x,y)) lecz tutaj bez znajomości funkcji ω(x,y) , dość trudno będzie wtedy samemu znaleźć /zgadnąć taką funkcję ω(x,y) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Jeszcze innym pomysłem na sprowadzanie równań jednego typu do równań innego typu jest wprowadzenie parametru Przykładem jest tutaj równanie Lagrange czyli równanie postaci y=f(y')x+g(y') Różniczkujemy to równanie stronami y'=f'(y')y''x+f(y')+g'(y')y'' i wprowadzamy parametr y'=p p=f'(p)p'x+f(p)+g'(p)p' p'(f'(p)x+g'(p))=p−f(p)

dp
	(f'(p)x+g'(p))=p−f(p)
dx

	dx
f'(p)x+g'(p)=(p−f(p))
	dp

dx		f'(p)		g'(p)
	=		x+
dp		p−f(p)		p−f(p)

Czyli mamy równanie liniowe −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Rozwiązując równanie różniczkowe y'=f(x,y) szukamy zwykle funkcji y(x) ale czasem łatwiej nam będzie poszukać funkcji x(y) albo po prostu zostawić rozwiązanie w postaci uwikłanej

chichi: Dziękuję, również zapiszę sobie ten tekst