zad student: Udowodnij

	9
(sin4x+cos2x)(cos4x+sin2x) ≥
	16

ICSP: https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/problems/om73_1.pdf zad 1.

mat: https://matematykaszkolna.pl/forum/411372.html

student: dzieki

Mariusz: sin⁴xcos⁴x+sin⁶x+cos⁶x+cos²xsin²x (sin²x+cos²x)³=sin⁶x+3sin⁴xcos²x+3sin²xcos⁴x+cos⁶x 1 = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x(sin²x+cos²x) sin⁶x+cos⁶x = 1 − 3 sin²xcos²x

	9
1 − 3 sin2xcos2x + sin4xcos4x + cos2xsin2x ≥
	16

	9
1 + sin4xcos4x − 2 sin2xcos2x ≥		| * 16
	16

16 sin⁴xcos⁴x − 32 sin²xcos²x + 7 ≥ 0 sin⁴(2x) − 8sin²(2x) +7 ≥ 0 (sin²(2x)−1)(sin²(2x)−7) ≥ 0 Dla x∊ℛ czynnik sin²(2x)−7 będzie stale ujemny i nigdy nie będzie zerowy więc dzieląc obustronnie i zmieniając zwrot nierówności otrzymujemy sin²(2x)−1 ≤ 0 (sin(2x) −1)(sin(2x)+1) ≤ 0 −1 ≤ sin(2x) ≤ 1 a to jest prawdziwe dla każdego x ∊ ℛ