uduwonić nierówność
sylwinka: a,b− to liczby rzeczywiste, spełniające warunek a+b=1. Udowonić nierówność a2 +b)(b2)>=9/16
14 paź 19:36
sylwinka: ab+a3+b3+ab−9/16>=0
14 paź 19:38
sylwinka: proszę tylko może o sugestie lub miejsce gdzie mogę znaleźć pomoc w rozwiązaniu?
14 paź 19:39
chichi:
Napisz to w końcu porządnie...
14 paź 19:41
sylwinka: 916
14 paź 19:41
sylwinka: to pierwsze to jest zadanie,a to drugie to coś co próbowałam zrobić
14 paź 19:42
sylwinka: trzeba udowodnić nierówność (a2 +b)(b2+a>=916 przy założeniu, że a+b=1
14 paź 19:45
wredulus_pospolitus:
(a2+b)(b2+a) = (ab)2 + (ab) + a3 + b3 = (ab)2 + (ab) + (a+b)(a2 − ab + b2)
a teraz zauważ, że:
a+b = 1 −−−> (a+b)2 = 1 −−−> a2 + b2 = 1 − 2ab
więc:
(ab)2 + (ab) + (a+b)(a2 − ab + b2) = (ab)2 + (ab) + (1)(− ab + 1 − 2ab) =
= (ab)2 + (ab) + 1 − 3ab = (ab)2 − 2ab + 1 = (ab − 1)2
a następnie:
a+b=1 −−−> b = 1−a
więc:
(ab−1)2 = (a(1−a) − 1)2 ≥ ( 1/2*(1−1/2) −1)2 = (−3/4)2 = 9/16
14 paź 19:54
sylwinka: dziękuje
bo ja chciałam to całkiem inaczej rozwiązać ... wydawało mi się, że powinno być
a
2b
2 + a
3 +b
3 +ab
14 paź 20:02
sylwinka: Dziękuję za wielką pomoc
14 paź 20:14
wakacje: można też w ten sposób, że: a+b=1 → b=1−a
| | 9 | | 9 | |
(a2+b)(b2+a)− |
| =(a2+1−a)(a2−a+1)− |
| = |
| | 16 | | 16 | |
| | 7 | |
=a4−2a3+3a2−2a+ |
| ... i teraz pokazujesz, że jest to nieujemne |
| | 16 | |
14 paź 20:17
gg:
@ wakacje
wykonując ciąg przekształceń równoważnych
dla b= a−1
.... (a2−a+1)2−(3/4)2≥0
(a2−a+(7/4))(a2−a+(1/4))≥0
>0 ≥0
i koniec dowodu
14 paź 20:31
Mariusz:
@wakacje niepotrzebnie wymnażałeś , miałeś różnicę kwadratów i łatwo mogłeś zapisać
ten wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów a wtedy wystarczyłoby sprawdzić ich wyróżniki
17 paź 23:27