matematykaszkolna.pl
Dwusieczna kąta, geometria analityczna wakacje: Pytanie o równanie dwusiecznej. Zastanawiam się nad pewną rzeczą − mianowicie, niech dany będzie trójkąt w układzie współrzędnych (znamy współrzędne jego wierzchołków) Chcąc wyznaczyć równanie dwusiecznej jednego z kątów wewnętrznych, wyznaczamy równania dwóch prostych, między którymi znajduje się dany kąt Teraz niech P będzie punktem, który leży na tej dwusiecznej, jest równo oddalony od boków Niech P=(x,y), no i tworzymy równanie, z którego powstają dwa rozwiązania I pytanie do którego dążę: w jaki sposób rozróżnić albo wiedzieć (bez rysowania), która prosta jest dwusieczną kąta wewnętrznego? Bo druga prosta nie leży w trójkącie w ogóle
24 wrz 00:19
chichi: Współczynniki kierunkowe prostych!
24 wrz 00:43
Mariusz: Zastanawiam się czy taki sposób wyznaczenia równania dwusiecznej byłby poprawny Mając dane wierzchołki trójkąta ABC piszemy równania prostych w których zawierają się ramiona kąta Na jednym z ramion kąta obieramy sobie punkt D Piszemy równanie okręgu o środku w punkcie A i promieniu AD Punkt E to przecięcie okręgu z prostą zawierającą drugie ramię kąta (wybieramy punkt bliżej punktu B) Piszemy równanie prostej przechodzącej przez punkty DE Piszemy równanie prostej prostopadłej do prostej DE i przechodzącej przez punkt A Można też wymyślić sposób wyznaczania równania dwusiecznej bazując na sposobie jej konstrukcji
24 wrz 13:39
chichi: Ale co masz problem w określeniu poprawności swojego rozumowania? Dlaczego?
24 wrz 14:47
chichi: Sposób jest jak najbardziej poprawny, ale nieco dłuższy od 'standardowego'
24 wrz 14:53
Mariusz: No właśnie ciekawy jestem jak wyglądałby dowód poprawności tego sposobu z 24 wrz 2021 13:39 Jeżeli chodzi o moje rozumowanie to wyszedłem ze sposobu konstrukcji dwusiecznej ale w pewnym momencie go zmodyfikowałem
24 wrz 16:44
chichi: To wszystko bazuje na stworzenie trójkąta równoramiennego na ramionach kąta, którego podziału chcemy dokonać, a reszta wynika wprost z własności tegoż trójkąta
24 wrz 17:16
chichi: rysunek
24 wrz 17:24
(--.--): Można wykorzystać sposób ze współrzędnymi środka okręgu wpisanego w trójkąt.
24 wrz 18:22
Mariusz: A jak znajdziesz te współrzędne bez równań dwusiecznych
24 wrz 18:27
Mariusz: Ja przedstawiłem sposób znalezienia równania bazujący w znacznym stopniu na sposobie konstrukcji dwusiecznej natomiast nie bardzo wiem jak chciałbyś wykorzystać współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt
24 wrz 19:36
:=: rysunek
 axA+bxB+cxC 
xS=

 a+b+c 
 ayA+byB+cyC 
yS=

 a+b+c 
24 wrz 20:23
Mariusz: No nadal nie bardzo wiadomo skąd się wziął twój wzorek na te współrzędne środka okręgu Sposób który zaprezentowałem może i jest trochę dłuższy od tego "standardowego" ale wynika z rozważań kroków konstrukcji i chichi z grubsza napisał dlaczego działa
24 wrz 22:28
chichi: @Mariusz to nie jest z grubsza 'napisane' tylko dowód bez opisu, to zostawiłem dla czytelników, rozumowanie to przeprowadza się w głowie 'czytając" rysunek
24 wrz 23:01
wakacje: Co masz na myśli poprzez współczynniki kierunkowe prostej, chichi? Myślałem że może chodzi Ci o to, że mając dwie proste można łatwo sprawdzić która z nich jest malejąca a która rosnąca, no i z tego jakiś szybki szkic zrobić? Ale jeśli będziemy mieli współrzędne w symbolach to wtedy chyba ciężko. Ogólnie mam zadanie takie, że mam wykazać że jeśli współrzędne wierzchołków są liczbami wymiernymi, to współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt też są wymierne :=: podał/a coś podobnego czego bym szukał, ale nie wiem czy to to
25 wrz 22:28
chichi: Bzdura totalna, mogą być np. obie ROSNĄCE, startujemy od wierzchołka i teraz zobacz jak zachowują się współczynniki i zrób ograniczenie
25 wrz 22:53
wakacje: Przykładowo A=(a1,b1) oraz B=(a2,b2) oraz C=(a3,b3) 1) Prosta przechodząca przez punkty A oraz B: k: y=ax+b b1=a1a+b ∧ b2=a2a+b
 b1−b2 a1b2−a2b1 
⇒ a=

∧ b=

 a1−a2 a1−a2 
 b1−b2 a1b2−a2b1 
k: y=

x+

→ (a1−a2)y−(b1−b2)x−(a1b2−a2b1)=0
 a1−a2 a1−a2 
2) Prosta przechodząca przez punkty A oraz C: l: y=ax+b l: (a1−a3)y−(b1−b3)x−(a1b3−a3b1)=0 3) Szukamy równania dwusiecznej kąta ∡BAC: Tworzymy równanie:
|(a1−a2)y−(b1−b2)x−(a1b2−a2b1)| 

=
((a1−a2))2+(b1−b2)2 
 |(a1−a3)y−(b1−b3)x−(a1b3−a3b1)| 
=

 ((a1−a3))2+(b1−b3)2 
No i z tego wychodzą dwa równania, dwóch prostych, w postaci y=ax+b − pytanie teraz jak w takim momencie rozpoznać tę właściwą wersję? Nie wiem czy mnie rozumiecie.. może trochę zagmatwałem
25 wrz 22:58
mat: A może w treści jest : "środka okręgu opisanego
26 wrz 00:14
wakacje: Na to wychodzi, przepraszam za pomyłkę.. teraz już trzeba pamiętać, że 'circumscribed circle' to okrąg opisany, a 'inscribed circle' to okrąg wpisany To w takim razie zadanie już chyba teraz łatwo udowodnić tylko pewnie dużo żmudnej roboty i przekształceń, zaraz może rozwiąże i ktoś w przyszłości akurat może skorzysta
26 wrz 01:30
mat: No to po sprawie − współczynniki kierunkowe prostych zawierajacych boki są wymierne − współrzędne środków boków są wymierne środki − współczynniki kierunkowe symetralnych boków też wymierne to równania symetralnych mają i wyrazy wolne wymierne − układ równań o współczynnikach wymiernych ma rozwiązania wymierne co oznacza,że środek S −− okręgu opisanego ma współrzędne wymierne koniec dowodu
26 wrz 01:43
wakacje: w sumie tak słownie też można, więc rachunkowo jednak sobie odpuszczę, za późna godzina emotka jeszcze raz wybaczcie za pomyłkę i dzięki za wszelką pomoc
26 wrz 01:58