Dwusieczna kąta, geometria analityczna wakacje: Pytanie o równanie dwusiecznej. Zastanawiam się nad pewną rzeczą − mianowicie, niech dany będzie trójkąt w układzie współrzędnych (znamy współrzędne jego wierzchołków) Chcąc wyznaczyć równanie dwusiecznej jednego z kątów wewnętrznych, wyznaczamy równania dwóch prostych, między którymi znajduje się dany kąt Teraz niech P będzie punktem, który leży na tej dwusiecznej, jest równo oddalony od boków Niech P=(x,y), no i tworzymy równanie, z którego powstają dwa rozwiązania I pytanie do którego dążę: w jaki sposób rozróżnić albo wiedzieć (bez rysowania), która prosta jest dwusieczną kąta wewnętrznego? Bo druga prosta nie leży w trójkącie w ogóle

chichi: Współczynniki kierunkowe prostych!

Mariusz: Zastanawiam się czy taki sposób wyznaczenia równania dwusiecznej byłby poprawny Mając dane wierzchołki trójkąta ABC piszemy równania prostych w których zawierają się ramiona kąta Na jednym z ramion kąta obieramy sobie punkt D Piszemy równanie okręgu o środku w punkcie A i promieniu AD Punkt E to przecięcie okręgu z prostą zawierającą drugie ramię kąta (wybieramy punkt bliżej punktu B) Piszemy równanie prostej przechodzącej przez punkty DE Piszemy równanie prostej prostopadłej do prostej DE i przechodzącej przez punkt A Można też wymyślić sposób wyznaczania równania dwusiecznej bazując na sposobie jej konstrukcji

chichi: Ale co masz problem w określeniu poprawności swojego rozumowania? Dlaczego?

chichi: Sposób jest jak najbardziej poprawny, ale nieco dłuższy od 'standardowego'

Mariusz: No właśnie ciekawy jestem jak wyglądałby dowód poprawności tego sposobu z 24 wrz 2021 13:39 Jeżeli chodzi o moje rozumowanie to wyszedłem ze sposobu konstrukcji dwusiecznej ale w pewnym momencie go zmodyfikowałem

chichi: To wszystko bazuje na stworzenie trójkąta równoramiennego na ramionach kąta, którego podziału chcemy dokonać, a reszta wynika wprost z własności tegoż trójkąta

chichi:

(--.--): Można wykorzystać sposób ze współrzędnymi środka okręgu wpisanego w trójkąt.

Mariusz: A jak znajdziesz te współrzędne bez równań dwusiecznych

Mariusz: Ja przedstawiłem sposób znalezienia równania bazujący w znacznym stopniu na sposobie konstrukcji dwusiecznej natomiast nie bardzo wiem jak chciałbyś wykorzystać współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt

:=:

	axA+bxB+cxC
xS=
	a+b+c

	ayA+byB+cyC
yS=
	a+b+c

Mariusz: No nadal nie bardzo wiadomo skąd się wziął twój wzorek na te współrzędne środka okręgu Sposób który zaprezentowałem może i jest trochę dłuższy od tego "standardowego" ale wynika z rozważań kroków konstrukcji i chichi z grubsza napisał dlaczego działa

chichi: @Mariusz to nie jest z grubsza 'napisane' tylko dowód bez opisu, to zostawiłem dla czytelników, rozumowanie to przeprowadza się w głowie 'czytając" rysunek

wakacje: Co masz na myśli poprzez współczynniki kierunkowe prostej, chichi? Myślałem że może chodzi Ci o to, że mając dwie proste można łatwo sprawdzić która z nich jest malejąca a która rosnąca, no i z tego jakiś szybki szkic zrobić? Ale jeśli będziemy mieli współrzędne w symbolach to wtedy chyba ciężko. Ogólnie mam zadanie takie, że mam wykazać że jeśli współrzędne wierzchołków są liczbami wymiernymi, to współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt też są wymierne :=: podał/a coś podobnego czego bym szukał, ale nie wiem czy to to

chichi: Bzdura totalna, mogą być np. obie ROSNĄCE, startujemy od wierzchołka i teraz zobacz jak zachowują się współczynniki i zrób ograniczenie

wakacje: Przykładowo A=(a₁,b₁) oraz B=(a₂,b₂) oraz C=(a₃,b₃) 1) Prosta przechodząca przez punkty A oraz B: k: y=ax+b b₁=a₁a+b ∧ b₂=a₂a+b

	b1−b2		a1b2−a2b1
⇒ a=		∧ b=
	a1−a2		a1−a2

	b1−b2		a1b2−a2b1
k: y=		x+		→ (a1−a2)y−(b1−b2)x−(a1b2−a2b1)=0
	a1−a2		a1−a2

2) Prosta przechodząca przez punkty A oraz C: l: y=ax+b l: (a₁−a₃)y−(b₁−b₃)x−(a₁b₃−a₃b₁)=0 3) Szukamy równania dwusiecznej kąta ∡BAC: Tworzymy równanie:

|(a1−a2)y−(b1−b2)x−(a1b2−a2b1)|
	=
√((a1−a2))2+(b1−b2)2

	|(a1−a3)y−(b1−b3)x−(a1b3−a3b1)|
=
	√((a1−a3))2+(b1−b3)2

No i z tego wychodzą dwa równania, dwóch prostych, w postaci y=ax+b − pytanie teraz jak w takim momencie rozpoznać tę właściwą wersję? Nie wiem czy mnie rozumiecie.. może trochę zagmatwałem

mat: A może w treści jest : "środka okręgu opisanego

wakacje: Na to wychodzi, przepraszam za pomyłkę.. teraz już trzeba pamiętać, że 'circumscribed circle' to okrąg opisany, a 'inscribed circle' to okrąg wpisany To w takim razie zadanie już chyba teraz łatwo udowodnić tylko pewnie dużo żmudnej roboty i przekształceń, zaraz może rozwiąże i ktoś w przyszłości akurat może skorzysta

mat: No to po sprawie − współczynniki kierunkowe prostych zawierajacych boki są wymierne − współrzędne środków boków są wymierne środki − współczynniki kierunkowe symetralnych boków też wymierne to równania symetralnych mają i wyrazy wolne wymierne − układ równań o współczynnikach wymiernych ma rozwiązania wymierne co oznacza,że środek S −− okręgu opisanego ma współrzędne wymierne koniec dowodu

wakacje: w sumie tak słownie też można, więc rachunkowo jednak sobie odpuszczę, za późna godzina jeszcze raz wybaczcie za pomyłkę i dzięki za wszelką pomoc

Mariusz: Napisałem sobie w Pascalu programik do znajdowania równania dwusiecznej sposobem konstrukcyjnym ale chyba nie oprogramowałem wszystkich przypadków https://pastebin.com/DMkgYyey

Mariusz: student , jaką dwusieczną wybrać ? Współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia prostej do osi OX (można z tego wyprowadzić wzór na tangens kąta między wektorami) Iloczyn skalarny wektorów to ab = |a||b|cos(α) (Przyjmując że a oraz b są wektorami kolumnowymi iloczyn skalarny można zinterpretować za pomocą iloczynu macierzy a^Tb)

Szkolniak: Jako że to mój post, tylko że pod innym nickiem, to odpowiem Mariusz, u mnie jeśli chodzi o jakiekolwiek programowanie to kompletnie nie czuję chęci aby się tego uczyć i nie ciągnie mnie do tego, także ja akurat nie skorzystam z tego programu do Pascala

Mariusz: Szkolniak a jak tam ci poszło z przećwiczeniem równań różniczkowych Spis tematów który przedstawiłem w wątku https://matematykaszkolna.pl/forum/385133.html (patrz ostatni wpis) to wg mnie takie minimum jeśli chodzi o równania różniczkowe zwyczajne Pewnie jakiś nauczyciel albo ten kto niedawno miał równania różniczkowe na wykładzie dołożyłby pewnie kilka tematów Tutaj ja poległem na wymyślaniu ci przykładów do przećwiczenia a w zbiorach zadań nie znalazłem odpowiednich Co do równań wielomianowych to proponuję przejrzeć następujące pdf http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf https://pdfhost.io/v/s9Ezc.ZYP_redniowiecze.pdf W tym drugim pdf jest krótko wspomniany sposób rozwiązywania równania trzeciego stopnia używany przez Francoisa Viete choć ja wolę ten przedstawiony u Sierpińskiego

Szkolniak: Mariusz, jeśli chodzi o równania różniczkowe to trzymałem się tego co mi tam wysyłałeś i robiłem po kolei Twoje przykłady, ale na koniec nie miałem już za bardzo czasu i też przez to przestałem je rozwiązywać, bo nie było zwyczajnie kiedy Teraz zaczęły mi się studia i siedzę w analizie matematycznej 1, którą myślę że rozumiem, także następne za co się wezmę to pewnie analiza 2 aby nie było problemów z zaliczeniem Potem zobaczymy, jak mam się zabierać za takie równania różniczkowe to z pewnością trzeba więcej czasu, a czterech działów na raz też nie chcę poruszać A za linki dzięki wielkie, w wolnym czasie przejrzę i zobaczę o co tam chodzi

Mariusz: Szkolniak czytałeś o otoczce wypukłej Tam było porównywanie kątów a porównywało się je licząc pole równoległoboku rozpiętego na dwóch wektorach Może to by się przydało do wyboru dwusiecznej Problemem w napisaniu programu do wyznaczania równania dwusiecznej sposobem konstrukcyjnym byłoby możliwe dzielenie przez zero Z jednej strony postać kierunkowa jest wygodniejsza podczas losowania punktu D (losujemy tylko jedną współrzędną a drugą obliczamy z równania prostej) oraz podczas porównania równania okręgu z równaniem prostej zawierającej drugie ramię kąta Z drugiej zaś strony równanie ogólne prostej nie wymaga dzielenia