całka max22:

	xex[4+4(sinx+cosx)+sin2x]
Jak policzyć tę całkę ∫		dx
	(1+cosx)2

a7:

	4+4sinx+4cosx+2sinxcosx
x/2*ex*∫		dx=
	(1+cosx)2

	2(2+2sinx+2cosx+sinxcosx)
x/2ex*∫		dx=
	(1+cosx)2

	2sinx(1+cosx)+2(1+cosx)
x*ex*∫		dx=
	(1+cosx)2

	2(1+cosx)(sinx+1)
x*ex*∫		dx=
	(1+cosx)2

	(sinx+1)
2x*ex*∫		dx=
	(1+cosx)

nie wiem czy dobrze (i dalej nie wiem)

max22: a skąd ten początek?

a7: w jakim sensie? z mojej głowy

a7: tutaj dokończenie, ale nie wiem czy to nie była w sumie jakaś droga na około https://www.youtube.com/watch?v=D0YOvVKcqmw

a7: a noi zapomniałam drugiej potęgi przy iksie przed całką

a7: i właściwie to nie jestem pewna czy dobrze

max22: A możesz wyajśnić skąd to x/2*e^x przed całką?

a7: e^x jest stałą a całka z x to x²/2, no i o ile pamiętam to można tak zrobić , ale właśnie nie jestem pewna

max22: e^x to nie jest stała

a7: to znaczy nie tyle stałą ile na filmiku jest wzór, sam spójrz

max22: a7 tak na pewno sie nie całkuje iloczynu

a7: tak widzę, że pomieszałam

a7: ale w filmiku jest wzór

a7: czyli wg moich przekształceń powinno wyjść

	xex(1+sinx)
∫		=....
	1+cosx)

zaraz spojrzę do filmiku i może rozkminię

a7: zaraz, może zacznę od początku jeszcze raz

max22: Bo to prawie to samo co na filmiku tylko jest x

a7: tak, ale przez to moje wyłączanie się nie zgadza

max22: Może jakoś całkowanie przez części doprowadzi do tego ca na filmiku

a7: myślę, ale chyba to mi nie wyjdzie

a7: znalazłam taki link, ale to chyba niewiele tutaj pomoże https://matematykaszkolna.pl/forum/203546.html

max22: Moze trzeba do tego podejść inaczej choć ten filmik moze pomoc

a7: no może tak, ja się poddaję : )

max22: a7 czy te przekształcenia z sinusami i cosinusami są poprawne

a7: tylko część

a7: niestety, bo właśnie by siś ładnie skróciło z mianownikiem

max22: Moze ktoś inny zerknie też

a7: pewnie trzeba chwilkę poczekać...

Mariusz : Ad 7 sie 2021 12:06 Tak się całek nie liczy Całka jest liniowa czyli możesz wyciągnąć tylko stałą przed znak całki Na pierwszy rzut oka proponowałbym liczyć przez części

	xex(4+4sinx+4cosx+2sinxcosx)
∫		dx
	(1+cosx)2

	xex(1+cosx)		sinx
4∫		dx+∫xex(2cosx+4)		dx=
	(1+cosx)2		(1+cosx)2

	xex		xex(2cosx+4)		ex((x+1)(2cosx+4)−2xsinx))
4∫		dx−		+∫		dx
	1+cosx		(1+cosx)		1+cosx

a7: Dzień dobry @Mariusz wiem, wiem, dlatego napisałam, że nie wiem czy dobrze i jak się zorientowałam, że wszystko się mi pomieszało to też napisałam

a7: sorki za spam

Mariusz : a7 Masz odnośniki do poczytania o liczeniu całek http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon15/mon1504.pdf albo Banacha http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/rachunek2.pdf Poza tym co możesz znaleźć w sieci jest jeszcze książka Franciszka Lei Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych czy G.M.Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy

max22: Mariusz jak to policzyć do końca tę całkę?

a7: dzięki!

Mariusz : Zdaje się że pomyliłem znak (ach ta pochodna cosinusa) Teraz jeżeli po dodaniu tych całek co nam zostały nic się nie uprości to trzeba próbować czegoś innego

Mariusz : Po poprawieniu znaków będziemy mieli

xex(2cosx + 4)		xex
	+4∫		dx−∫U{ex((x+1)(2cosx +
1+cosx		1+cosx

4)−2xsinx))}{1+cosx}dx

	xex(2cosx + 4)
=		+
	1+cosx

	ex(−2xcosx−4x − 2cosx − 4 + 2xsinx + 4x)
∫		dx
	1+cosx

	xex(2cosx + 4)
=		+
	1+cosx

	ex(−2xcosx − 2cosx − 4 + 2xsinx)
∫		dx
	1+cosx

	xex(2cosx + 4)		ex(−2xcosx−2+2xsinx)
=		−2ex+∫		dx
	1+cosx		1+cosx

	ex(−2xcosx−2+2xsinx)
∫		dx
	1+cosx

	x		x		x		x
1+cosx=cos2(		)+sin2(		)+cos2(		)−sin2(		)
	2		2		2		2

	x
1+cosx=2cos2(		)
	2

	ex(−2xcosx−2+2xsinx)
∫		dx
	x   2cos2( )   2

	x   x   x   x   ex(x(2sin( )cos( )−cos2( )+sin2( ))−2)   2   2   2   2
∫		dx
	x   cos2( )   2

max22: Jeszcze została tak duża całka do obliczenia?

Mariusz : Można by nieco inaczej rozbić tę całkę co nam została po całkowaniu przez części na sumę całek

xex(2cosx + 4)
1+cosx

	ex(−2xcosx −2cosx − 4 + 2xsinx)
+∫		dx
	1+cosx

(x+1)(1+cosx)=(x+xcosx + 1 + cosx)

xex(2cosx + 4)
1+cosx

	ex(xcosx+cosx+x+1 + 1 − x − xsinx)
−2∫		dx
	1+cosx

	xex(2cosx + 4)		ex(x+xsinx − 1)
=		−2∫(x+1)exdx+2∫		dx
	1+cosx		1+cosx

	xex(2cosx + 4)		ex(x+xsinx − 1)
=		−2((x+1)ex−ex)+2∫		dx
	1+cosx		1+cosx

	xex(2cosx + 4)		ex(x+xsinx − 1)
=		−2xex+2∫		dx
	1+cosx		1+cosx

Teraz można spróbować wyrazić funkcje trygonometryczne za pomocą funkcji trygonometrycznych połowy kąta

	x		x		x		x
1+cosx = cos2(		)+sin2(		)+cos2(		)−sin2(		)
	2		2		2		2

	x
1+cosx = 2cos2(		)
	2

	ex(x+xsinx − 1)
2∫		dx
	x   2cos2( )   2

	ex(x+xsinx − 1)
∫		dx
	x   cos2( )   2

Teraz można by spróbować jeszcze raz przez części tym razem

	1
∫(ex(x+xsinx − 1))		dx
	x   cos2( )   2

	1
gdzie całkujemy czynnik
	x   cos2( )   2

a różniczkujemy czynnik e^x(x+xsinx − 1)

Mariusz : Co do całki

	ex(x+xsinx−1)
∫		dx
	x   cos2{ }   2

to lepiej ją rozbić na sumę dwóch całek

	ex(x−1)		xsinx
∫		dx+∫		dx
	x   cos2( )   2		x   cos2( )   2

	ex(x−1)		x   x   xsin( )cos( )   2   2
∫		dx+2∫		dx
	x   cos2( )   2		x   cos2( )   2

	ex(x−1)		x   xsin( )   2
∫		dx+2∫		dx
	x   cos2( )   2		x   cos( )   2

Teraz pierwszą całkę liczysz podobnie jak zasugerowałem w poprzednim wpisie

	1		x   xexsin( )   2
∫ex(x−1)		dx+2∫		dx
	x   cos2( )   2		x   cos( )   2

	x		x		x
2ex(x−1) tg(		)−2∫((x−1)ex+ex)tg(		)dx−2∫xextg(		)dx
	2		2		2

	x
=2ex(x−1) tg(		)+∫0dx
	2

	x
=2ex(x−1) tg(		)+C
	2

Tak więc całka wynosi

xex(2cosx + 4)		x
	− 2xex + 2ex(x−1) tg(		)+C
1+cosx		2

max22: A coś to da otrzymamy chyba znów skomplikowaną całkę.

max22: Ok dzięki bo napisałem post do poprzedniej wiadomosci

Mariusz : Możemy spróbować ten wynik jeszcze trochę uprościć

	xex(2cosx+4)
=		−2xex+
	1+cosx

	x   x   2sin( )cos( )   2   2
2ex(x−1)
	x   x   2cos( )cos( )   2   2

	xex(2cosx+4)
=		−2xex+
	1+cosx

	x   x   2sin( )cos( )   2   2
2ex(x−1)
	x   2cos2( )   2

	xex(2cosx+4)		sin(x)
=		−2xex+2ex(x−1)		+C
	1+cosx		1+cosx

	xex(2cosx+4)−2xex(1+cosx)+2(x−1)exsinx
=		+C
	1+cosx

2xe^xcosx + 4xe^x−2xe^x−2xe^xcosx+2xe^xsinx − 2e^xsinx 2xe^x+2xe^xsinx−2e^xsinx

	2ex(x+xsinx − sinx)
=		+ C
	1+cosx

Mariusz : a7: spis podręczników z których mógłbyś (mogłabyś) nauczyć się liczyć całki podałem we wpisie z 7 sie 2021 15:38 Jeśli chodzi o zbiory zadań to W Krysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach jest bardzo dobrym zbiorem zadań Niektórzy uważają go za podręcznik choć jako podręcznik spisuje się gorzej Oprócz tego ze zbiorów zadań widziałem Zbiór zadań z analizy matematycznej Banasia i Wędrychowicza Jeśli znasz rosyjski to dobrymi zbiorami zadań są też zbiory zadań z czasów Sojuza np Б П Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу

a7: nie znam rosyjskiego, kiedyś zupełnie nieźle rozwiązywałam całki − teraz niewiele już z tego − jak się okazuje− pamiętam dzięki serdeczne !

Mariusz : Tutaj trzeba było troszeczkę pomyśleć jak tu rozbić tę całkę na sumę całek aby całkowanie przez części coś dawało Oprócz takich całek jak ta są i takie które można policzyć dość schematycznie Jeśli będziesz chciała sobie przypomnieć jak się liczyło całki − dobrej zabawy

a7: : )

Mariusz : Co do tej całki z filmiku to ja bym ją inaczej policzył niż te Hindusy czy inne Araby , ba zdaje się że ja już ją kiedyś policzyłem przy okazji liczenia całek nieoznaczonych ze zbioru Banasia i Wędrychowicza

	1+sinx
∫ex		dx
	1+cosx

Całkujemy przez części

	1+sinx
du=exdx v=
	1+cosx

	cosx(1+cosx)−(−sinx)(1+sinx)
u = ex dv =		dx
	(1+cosx)2

	1+sinx
du=exdx v=
	1+cosx

	1 + cosx+sinx)
u = ex dv =		dx
	(1+cosx)2

	1+sinx		1+sinx		(1+cosx)+sinx
∫ex		dx=ex		−∫ex		dx
	1+cosx		1+cosx		(1+cosx)2

	1+sinx		1+sinx		ex
∫ex		dx=ex		−∫		dx−
	1+cosx		1+cosx		1+cosx

	exsinx
∫		dx
	(1+cosx)2

Drugie całkowanie przez części

	sinx
u = ex dv =		dx
	(1+cosx)2

	1
du=exdx v =
	cosx

	1+sinx		1+sinx		ex
∫ex		dx=ex		−∫		dx−
	1+cosx		1+cosx		1+cosx

	ex		ex
(		−∫		dx)
	1+cosx		1+cosx

	1+sinx		1+sinx		ex
∫ex		dx=ex		−		+C
	1+cosx		1+cosx		1+cosx

	1+sinx		exsinx
∫ex		dx=		+ C
	1+cosx		1+cosx

max22: Dzięki

	x2 cos2(x)
A czy da się policzyć taką całkę:
	(x + cos2(x))2