Mariusz:
Zakładam że zapomniałeś podnieść x do piątej potęgi
Jeżeli jest dobrze napisane to niewiele zmieni w sposobie rozwiązania
x
2y''−2xy'+2y=x
5lnx
Jest to równanie liniowe tyle że współczynniki nie są stałe
Rozwiązujesz równanie jednorodne
Podam tutaj dwa sposoby rozwiązania
x
2y''−2xy'+2y=0
x=e
t
| d2y | | d | | dy | |
| = |
| ( |
| e−t)e−t |
| dx2 | | dt | | dt | |
| d2y | | d2y | | dy | |
| =( |
| e−t−e−t |
| )e−t |
| dx2 | | dt2 | | dt | |
| d2y | | d2y | | dy | |
| =( |
| − |
| )e−2t |
| dx2 | | dt2 | | dt | |
| | d2y | | d2y | | dy | |
x2 |
| =( |
| − |
| ) |
| | dx2 | | dt2 | | dt | |
x
2y''−2xy'+2y=0
| | d2y | | dy | | dy | |
( |
| − |
| )−2( |
| )+2y=0 |
| | dt2 | | dt | | dt | |
y=e
λt
λ
2e
λt−3λe
λt+2e
λt=0
(λ
2−3λ+2)=0
(λ−1)(λ−2)=0
y
1(t)=e
t
y
2(t)=e
2t
y
1(x)=x
y
2(x)=x
2
x
2y''−2xy'+2y=x
5lnx
Zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci
y
s = C
1(x)x+C
2(x)x
2 i rozwiązujesz następujący układ równań
C
1'(x)x+C
2'(x)x
2=0
C
1(x)+2C
2'(x)x=x
3lnx
Rozwiązanie powyższego układu równań całkujesz i wstawiasz do wcześniej założonej
postaci całki szczególnej równania niejednorodnego
Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego
(która jest kombinacją liniową całek szczególnych tworzących jego układ fundamentalny)
oraz całki szczególnej równania niejednorodnego
U ciebie całka ogólna równania niejednorodnego będzie wyglądać następująco
C
1x+C
2x
2+y
s
gdzie y
s to całka szczególna równania niejednorodnego
Inne podejście
x
2y''−2xy'+2y=x
5lnx
Rozwiązujesz najpierw równanie jednorodne
x
2y''−2xy'+2y=0
W tym podejściu musisz zauważyć że funkcja y
1(x)=x
spełnia równanie jednorodne więc jest jego całką szczególną
Obniżasz zatem rząd równania stosując podstawienie y=y
1∫u(x)dx
czyli w twoim przypadku będzie to
y=x∫u(x)dx
y'=∫u(x)dx+xu(x)
y''=u+u+xu'
x
2(2u+xu')−2x(∫u(x)dx+xu(x))+2x∫u(x)dx=0
2x
2u+x
3u'−2x∫u(x)dx−2x
2u+2x∫u(x)dx=0
x
3u'=0
u=C
1
y=x∫C
1dx
y=x(C
1x+C
2)
Rozwiązanie równania jednorodnego jest postaci
y= C
1x
2+C
2x
a dalej to jak w poprzednim podejściu
Mariusz:
2xy''−2xy+2y=5xlnx
y
1=x
2xy''−2xy+2y=0
y=x∫u(x)dx
y'=∫u(x)dx+xu(x)
y'' = u(x)+u(x)+xu'(x)
y'' = 2u(x)+xu'(x)
2x(2u(x)+xu'(x))−2x(∫u(x)dx+xu(x))+2x∫u(x)dx=0
4xu(x)+2x
2u'(x)−2x∫u(x)dx−2x
2u(x)+2x∫u(x)dx=0
2x
2u'(x)−(2x
2−4x)u(x)=0
xu'(x)−(x−2)u(x)=0
xu'(x)=(x−2)u(x)
ln|u|=x−2ln|x|+C
y=x∫u(x)dx
y=C
1(xEi(x)−e
x)+C
2x
Zakładasz że całka ogólna równania niejednorodnego jest postaci
y=C
1(x)(xEi(x)−e
x)+C
2(x)x
i rozwiązujesz układ równań
C
1'(x)(xEi(x)−e
x)+C
2'(x)x=0
| | 5 | |
C1'(x)Ei(x) +C2'(x) = |
| ln|x| |
| | 2 | |