Zadanie Rrr: Witam, pomoże mi ktoś z tym równaniem: x²y''−2xy'+2y=x5lnx x²r²−2xr+2=0 Z tego liczyłem Δ i tworzyłem y_j, ale teraz nie wiem jak to zrobić.

Mariusz: Spróbuj najpierw podstawienia x=e^t a dopiero równanie charakterystyczne

Mariusz: x=e^t

dx
	=et
dt

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

	dy		dy
x		=		e−tet
	dx		dt

	dy		dy
x		=
	dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy		dt
	=		(		e−t)
dx2		dt		dt		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−e−t		)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=(		−		)e−2t
dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=		−
	dx2		dt2		dt

	d2y		dy		dy
(		−		)−2		+2y=te5t
	dt2		dt		dt

d2y		dy
	−3		+2y=te5t
dt2		dt

Teraz masz równanie liniowe o stałych współczynnikach (założyłem że w części niejednorodnej miało być potęgowanie)

Mariusz: Inaczej Rozwiązujesz najpierw jednorodne x²y''−2xy'+2y=0 Tutaj widzisz że y₁=x jest całką szczególną równania jednorodnego więc podstawiasz y=x∫u(x)dx i obniżasz rząd równania

Rrr: Jak dokładniej to rozwiązać tym drugim sposobem?

Mariusz: x²y''−2xy'+2y=0 y=x∫u(x)dx y'=∫u(x)dx+xu(x) y''=u(x)+u(x)+xu'(x) y''=2u+xu' x²(2u+xu')−2x(∫u(x)dx+xu(x))+2x∫u(x)dx=0 x³u'+2x²u−2x∫u(x)dx−2x²u(x)+2x∫u(x)dx=0 x³u'=0 u'=0 u=C₁ y=x∫C₁dx y=x(C₁x+C₂) y_j=C₁x² C₂x Teraz mając całkę ogólną równania jednorodnego możesz uzmiennić stałe Zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci y_s = C₁(x)y₁+C₂(x)y₂ czyli u ciebie będzie to y_s = C₁(x)x²+C₂(x)x a następnie rozwiązujesz układ równań C₁'(x)y₁+C₂'(x)y₂=0 C₁'(x)y₁'+C₂'(x)y₂'=f(x) // f(x) funkcja będąca częścią niejednorodną U ciebie ten układ wyglądałby następująco C₁'(x)x²+C₂'(x)x=0 2C₁'(x)x+C₂'(x)=x⁵lnx Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego oraz całki szczególnej równania niejednorodnego

Mariusz: a nie przed uzmiennianiem muszisz doprowadzić do postaci y''+py'+q=f(x) zatem twój układ będzie wyglądał następująco C₁'(x)x²+C₂'(x)x=0 2C₁'(x)x+C₂'(x)=x³lnx