siedmiokat lanek: Dany jest siedmiokat foremny. Udowodnij, ze 1/a=1/b+1/c.

lanek: Czt byl by ktos w stanie mi pomoc? Jutro musze oddac w szkole to zadanie a juz tyle prob podejmowalem i nic mi ine wychodzi

a7: ja właśnie myślę

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/10018.html ∡BAC=25⁵₇=α ∡ABC=51³₇=2α ∡BCA=102⁶₇=4α

chichi: Wrzucę dowód jak wrócę z zakupów, no chyba, że @Eta mnie wyprzedzi

chichi: (1) Opiszmy okrąg na siedmiokącie (2) Zbudujmy czworokąt ABCD − wpisany w okrąg (3) Z tw. Ptolemeusza wówczas mamy:

	1		1		1		1
bc = ac + ab / *		⇒		=		+		□
	abc		a		b		c

Mila: Długości przekątnych w siedmiokącie foremnym.

	2π
1) Kąt środkowy α=		: Suma kątów wewnętrznych: 5π
	7

	5π
Kąt wewnętrzny: β=
	7

2) W ΔABC z tw. cosinusów:

	5π		5π
b2=2a2*(1−cos		)=2a2*2sin2
	7		14

	5π		a
b=2a sin		i c=
	14		π   2sin   14

1		1		π   2sin   14		1
	+		=		+
b		c		a		5π   2asin   14

	1		π   sin   7		1
=		*		+		=
	a		π   cos   14		5π   2sin   14

	1		π   5π   π   2sin sin +cos   7   14   14
=		*		=
	a		5π   π   sin *cos   14   14

	1		π   π   π   2sin cos +cos   7   7   14
=		*		=
	a		5π   π   sin *cos   14   14

	1		1
=		*1=
	a		a

Mila: Dla tych uczniów co nie znają tw. Ptolemeusza.

Filip: a ptolemeusz to nie taki latajacy dinizaur? XD

lanek: Dziekuje chichi na twoje rozwiazanie bym nie wpadl i dziekuje tez Mila takim sposobem wlasnie kombinowalem zeby uzaleznic od jednej zmiennej ale chyba cos w katach namieszalem i dlatego nie wychodzilo. A ty filip jak chciales zablysnac to mogles sie brokatem obsypac. Dziekuje wam za pomoc jeszcze raz

Mila: Z tymi kątami, to może łatwiej, jeżeli uzależni się a, b, c od r. Jeśli masz problem z tym, jak te kąty pozamieniałam to pisz.

lanek: No bylo by super jakbys mi powiedziala

Mila: Od góry:

	5π		5π		1−cos2x
1) 1−cos		=2 sin2		z wzoru: sin2x=
	7		14		2

	5π		π		5π		π
2) sin		=cos(		−		)=cos		wtedy mogłam w liczniku skorzystać z wzoru :
	14		2		14		7

sin2α=2 sinα cosα z tego wzoru przekształciłam c, aby mieć inny mianownik

	π		π		π		π		π   sin   7
sin		=2 sin		*cos		⇔ 2sin		=
	7		14		14		14		π   cos   14

	3π		π
3)sin		=cos		jak w (2)
	7		14

Tak działałam, aby się uprościło, oczywiście o Ptolemeuszu też zapomniałam, a to najprościej. Nie wiem, czy to wszystko? Przedostatnią linijkę przekształć: ( opuściłam to przy przepisywaniu)

1		2π   3π   sin +sin   7   7
	*		=
a		5π   π   2sin *cos   14   14

	1		5π   π   2sin *cos   14   14		1
=		*		=
	a		5π   π   2sin *cos   14   14		a