Zadania maturalne PR i PP Damian#UDM: Zadania maturalne PR i PP Dzień dobry kochani Chciałbym wam życzyć miłego wieczoru i kolejnych dni A teraz zadania z matmy. https://pdf.zadania.info/94253.pdf − rozwiązuje ten arkusz i mam problem z zadaniami: 6, 13 oraz 14. W zadaniu 6. i 14. nie mam pomysłu. W zadaniu. 13. nie wiem jak policzyć długości odcinków BF oraz BD, dzięki czemu mógłbym skorzystać z twierdzenia cosinusów w trójkącie BFD. Proszę o pomoc

wredulus_pospolitus: 14. Skoro wierzchołki A i B są odległe o 5√5 od punktu K, oraz o 25 od punktu L, to znaczy że ich współrzędne wyznaczyć poprzez rozwiązanie układu równań:

⎧	równanie okręgu o środku K i promieniu 5√5
⎩	równanie okręgu o środku L i promieniu 25

blabla: W 6 ? ( łatwizna) |CD|=2R z tw. sinusów w ΔBCD

	|BD|
sinα=
	2R

sinα= 10/13 i po ptokach

chichi:

	20
|AC|=2R ∧ |AC|=1.3|BD| ⇒ |BD|=		R
	13

Z tw. sinusów w ΔBCD:

|BD|		20   R   13		10
	=2R ⇒		=2R ⇒ sin(α)=
sin(α)		sin(α)		13

chichi: Cześć @blabla jak zwykle się spóźnię, ale dużo czasu zajmuje mi zrobienie dobrego rysunku, a skąd u Ciebie moja droga |CD|=2R ?

chichi: Z tej równości wynikałoby jako, że długość przyprostokątnej jest równa długości przeciwprostokątnej

blabla: AC miało byc

chichi: Przy okazji spójrz na zadanie 10 z tego arkusza i na to zadanie, które dziś rozwiązywałaś. Ciekawe, że ktoś je przepisał, ale już w innej formie.. https://matematykaszkolna.pl/forum/408997.html

blabla: Np: tak |KD|=2a−x , |AK|=3a+x , x∊(0,2a) x −−− z tw. o odcinkach stycznych

AK|		3a+x
	=
|KD|		2a−x

	5
|OD|=		x ( z podobieństwa ΔAEL i ΔAOD
	3

i z podobieństwa ΔAOD i ΔKOD

	2a−x		(5/3) x
		=
	x		3a

	a		x		a
2(		)−1= (5/9)*		/*(		>0
	x		a		x

2(a/x)²−(a/x)−(5/9) =0 Δ= 49/9

a		7   1+   3		5		6
	=		=		to x=		a
x		4		6		5

AK|		6   3a+ a   5		15+6
	=		=
KD|		6   2a− a   5		10−6

	|AK|		21
		=
	|KD|		4

==========

blabla: Ładne zadanko

Damian#UDM: O ludzie, 10. zadanie akurat udało mi się samemu ogarnąć Skorzystałem tylko z podobieństwa trójkątów oraz tw. o odcinkach stycznych i doszedłem do takiej samej równości zadanie za 4 punkty, a tyle liczenia. Arkusze maturalne z zadania.info powinny być na 70 a nie 50 punktów wredulus świetny pomysł, nigdy bym na to nie wpadł Rozwiąże je w ten sposób sam. 6. zadanie robiłem podobnie z twierdzenia sinusów lecz nie znalazłem żadnego powiązania między wartościami No i zostało zadanie 13. zapraszam do pomagania

Damian#UDM: Dziękuję wam, jesteście super Zawsze można na was liczyć. Fajnie, że tutaj jesteście

Damian#UDM: Co do zadania 13. to widziałem kiedyś coś takiego jak rombodeltoid i to była bryła trochę podobne do tej w zadaniu 13.

blabla: Z treści zadania w ΔAMD |DM=24 i AM=10 ΔAMD ≡ ΔCNF to NF=24 i CN=10 z tw. cosinusów w ΔBAM wyznacz BM² i z tw. Pitagorasa w ΔDMB m² analogicznie z drugiej strony w ΔBCN wyznacz BN² ( i z Pitagorasa w ΔBNF n² i już z górki

	m2+n2−262
cosγ =		=..............
	2mn

nie chc mi się tego liczyć

Damian#UDM: Już dalej sobie ogarnę, dziękuję

blabla:

chichi:

	39√651
Otrzymałem w zad. 13 cos(∡DBF)=		dosyć brzydki wynik, daj znać co Ci wyszło po
	1302

obliczeniu, a w zad. 14 mam, że A=(5,5) B=(−2,6) C=(1,−3) bądź C=(121,−3)

urban:

	39√651
Ja też w zadaniu 13 otrzymałem wynik		, ale w zadaniu 14 mam inny
	1302

wynik dla C

chichi: Sprawdzałem wszystko w GeoGebrze, szukaj u Siebie błędu, jeśli nie możesz znaleźć to wstaw rozwiązanie tutaj, to zerknę

blabla: Zad 14 Potwierdzam odp podaną przez chichi A(5,5) , B(−2,6) C(1,−3) lub C(121,−3) ==============================

urban: C = (1, − 3) oraz C = (121, −3), przepraszam

nabru:

Damian#UDM: Jak obliczyć współrzędne punktu C? Głowię się nad tym i nie mam pojęcia

chichi: Przecież to jest banalne... Zerknij na ostatnią wypowiedź @Mila https://matematykaszkolna.pl/forum/409080.html

Damian#UDM: Trudna ta matura. Przy tych zadaniach czuje się jak debil.

Damian#UDM: Punkty K i L też leżą na symetralnej odcinka AB ?

Damian#UDM: No właśnie myślałem o podobnej kwestii, że trójkąt ten jest równoramienny, lecz tak nie jest. A teraz widzę o co chodzi. Dziękuję

Damian#UDM: https://drive.google.com/drive/folders/1aksH8EaMHyhJp8BzAMwfT45tTc2xBPGe?usp=sharing Zostawiam tutaj link do matury, z którą mam problem. A mianowicie: Zadanie 15. (0−7) − nie wiem jak wyznaczyć wzór na to pole czworokąta. Zadanie 14. (0−6) − nie wiem jak wyznaczyć wysokość i obliczyć cokolwiek w tym przekroju. Jeśli ktoś ma ochotę to może zerknąć na zadanie 8. − jeszcze się za nie nie zabierałem. Dziękuje wam za pomoc i serdecznie pozdrawiam was

chichi: Trzeba wysyłać jakąś prośbę o dostęp lol

Saizou : Kolega nie zmienił uprawień dostępu. Pewnie udostępnił, ale bez możliwości przeglądania.

chichi: Nie wiem dlaczego tak trudno przepisać polecenia, aż takie lenistwo?

Philips: przekopiować*

Damian#UDM: Nie lenistwo, mam dużo pracy, ale dziękuję za troskę Tak, zapomniałem zmienić uprawnień. https://drive.google.com/drive/folders/1aksH8EaMHyhJp8BzAMwfT45tTc2xBPGe?usp=sharing Teraz powinno być ok.

ite: To jest troska o to, żeby praca włożona we wpisane rozwiązania była dostępna dla wszystkich użytkowników tego forum i na długo. Rozwiązanie bez dostępnej treści nic nikomu nie da, jeśli przestaniesz za kilka dni udostępniać swój dysk, to nie będzie wiadomo, o co komu chodziło. Ludzie szukający pomocy wpisują (również w googlach) treść zadania, więc nikt ni trafi do tego rozwiązania.

Damian#UDM: Wszystko rozumiem Pozdrawiam was

och&ach: Należy wykazać,że e=2c z treści zadania:

b+c		2+√2−√3
	=		⇒ 2c=b√2−√3
b		2

z tw. cosinusów w ΔAED e²=................. e=b√2−√3 e=2c

chichi: Zadanie 8 można też z tw. sinusów udowodnić, lecz sposób podany przez @Eta jest szybszy

chichi: Zad. 15 Zauważmy z rysunku, że pole czworokąta ABFE będzie największy, kiedy pole trójkąta EFB będzie najmniejsze, dalej już łatwo

chichi: W zadaniu 14 wysokość można wyznaczyć z tw. Pitagorasa

och&ach:

chichi: @Eta ja otrzymałem V=144√3, szukałem błędu rachunkowego i nie widzę, zerknij u Siebie

chichi: U mnie w ogóle przekrój jest pięciokątem, nie sześciokątem

och&ach: Ja źle zapamiętałam treść ( ukrytą w linku) Ty masz dobrze Tak , to jest jak autorowi postu nie chce się przepisać zadania !

och&ach: Sorry ..... i po ptokach

Saizou : AC =4√3 Z informacji o polu mamy, że

	1
10√15 = 4√3x +		*4√3y ⇒ 2x + y = 5√5 (1)
	2

XS = 4 SE = 2 ΔXSY ~ΔXEP (kkk)

x		x+y
	=		⇒ x = 2y (2)
4		6

Łącząc informacje (1) oraz (2) mamy, że x = 2√5, y = √5 Z tw. Pitagorasa w PXE h² + 6² = (3√5)² → h = 3

	42√3
V = 6*		*6 = 144√3
	4

och&ach:

Damian#UDM: Każdy popełnia błędy, nie ma co za to obwiniać innych 8. (0−3) PR

	|AB|		2+√2−√3
Kąt ostry BAD równoległoboku ABCD ma miarę 30 stopni, oraz		=		.
	|AD|		2

Dwusieczna kąta wypukłego ADC przecina bok AB w punkcie E. Uzasadnij, że w czworokąt EBCD można wpisać okrąg. 14. (0−6) PR Graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4, przecięto płaszczyzną zawierającą krótszą przekątną podstawy AC oraz punkt P, który jest środkiem krawędzi bocznej EE' (rysunek obok). Oblicz objętość graniastosłupa, jeśli pole przekroju jest równe 10√15. 15. (0−7) PR Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(1,2) B=(1,10) C=(9,10). Przez punkt D=(5,7) poprowadzono prostą o współczynniku kierunkowym dodatnim, która przecina boki AC i BC trójkąta odpowiednio w punktach E oraz F. Wyznacz współrzędne punktów E i D, dla których pole czworokąta AEFB jest największe. Proszę bardzo, specjalnie dla was Żeby nikt już nie popełniam więcej niepotrzebnych błędów przez ukryte treści .

Damian#UDM: A ja nadal nie wiem jak zrobić zadanie 15. Mam niewiadomą współczynnik prostej a oraz x i nie zrobię z tego funkcji jednej zmiennej.

	3+5a
x=
	a

E=F=(x,ax+7−5a), oraz F=(x,10) y−10=0 |CF|=9−x h_ΔEFC=|ax−5a−3|

chichi:

	5a−6		6a−7		5a+3
E=(		,		) ∧ F=(		, 10)
	a−1		a−1		a

chichi: O ile nie mam błędu rachunkowego oczywiście

Damian#UDM: Jak mam wyznaczyć współrzędne punktu E w zależności od a? Nie widzę tego.

Damian#UDM: Z tego, że ax+7−5a ∊ (2,10) ?

Saizou : 1) prosta k przechodząca przez D 2) E jako punkt przecięcia się prostej k oraz prostej AC 3) F jako punkt przecięcia się prostej k oraz prostej BC

chichi: y_AC=x+1 ∧ y_BC=10 Punkt D∊y{EF} ∧ y=ax+b ⇒ 7=5a+b ⇒ b=7−5a ⇒ y=ax+7−5a

	⎧	y=ax+7−5a
E:	⎩	y=x+1

	⎧	y=ax+7−5a
F:	⎩	y=10

Nie potrafisz rozwiązywać układów równań?

Damian#UDM: No tak, mogę wyznaczyć równanie prostej AC. Dziękuje Saizou

Szkolniak: α=30^o, |∡AED|=|∡ADE|=75^o, zatem ΔAED jest równoramienny ⇒ |AD|=|AE|=|BC|=4x, x>0

|AB|		(4+√6−√2)x
	=
|AD|		4x

|AB|=|AE|+|EB|=4x+|EB|=(4+√6−√2)x, zatem: |EB|=(4+√6−√2)x−4x |EB|=(√6−√2)x |DE|=y obliczamy z twierdzenia cosinusów w ΔDAE: y²=16x²+16x²−32x²*cos30^o y²=32x²−16√3x² y²=16x²(2−√3) y=(4√2−√3)x Aby w czworokąt EBCD można było wpisać okrąg, musi zachodzić równość: |EB|+|DC|=|DE|+|CB| (√6−√2)x+(4+√6−√2)x=(4√2−√3)x+4x /:x √6−√2+4+√6−√2=2(√6−√2)+4 2(√6−√2)+4=2(√6−√2)+4 L=P, zatem w czworokąt ten możemy wpisać okrąg, cnw.

Damian#UDM: 8. (0−3) KE 2020 PR

	|AD|		2
Na boku AB trójkąta ABC obrano punkt D w ten sposób, że		=		. Na odcinku CD
	|DB|		3

obrano

	|DF|		1
taki punkt F , że		=		. Przez punkty B i F poprowadzono prostą,
	|DC|		4

która przecięła bok AC w punkcie E. Uzasadnij, że stosunek pola trójkąta AEB do pola trójkąta ECB jest równy 5:9.

Szkolniak: Właśnie sobie je próbuję i wpadłem na razie na to, że może pomocne będzie zaznaczenie przy wierzchołku 'D' kątów α oraz 180^o−α i zapisanie że pole całego trójkąta ABC będzie równe polu ΔADC + pole ΔDBC z wykorzystaniem wzoru gdzie pojawia się sinus? Może teraz spróbować policzyć pole trójkąta AEB lub ECB i potem odjąć od całości..

och&ach: Wprowadzę bardziej przyjemne oznaczenia

	5b
P(ΔABE): P(ΔBCE)=		=5:9
	9b

Szkolniak: Twierdzenie Talesa?

och&ach: tak

Szkolniak: Tylko 3 punkty za to że się to zauważy.. może dobrze że tylko, mało punktów by się straciło na maturze

och&ach:

Damian#UDM: 10. (0−4) ZI 2021 PR VII Wykres funkcji f(x)=x³−6x²+3x−7 przesunięto o wektor v i w wyniku tej operacji otrzymano wykres, który jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wektora v. Z wygenerowanego wykresu odczytałem, że punkt, który po przesunięciu stanie się środkiem symetrii to punkt S=(2,−17). Zatem wykres został przesunięty o wektor v=[−2,17] Pytanie jak to zadanie zrobić nie mając takich narzędzi 7. (0−3) ZI 2021 PR VII Suma długości wszystkich wysokości trójkąta ABC jest 9 razy większa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny. 8. (0−3) ZI 2021 PR VII Wykaż, że cos(40)cos(80)cos(160)=⁻¹₈

ICSP: 8) Przemnóż licznik i mianownik przez 8sin(40) i następnie 3 razy zastosuj wzór na sinus podwojonego kąta.

Damian#UDM: Dziękuję ICSP tak zrobię

chichi:

1

1

1

2P

2P

2P

PΔABC=

aha=

bhb=

chc ⇒ ha=

∧ hb=

∧ hc=

2

2

2

a

b

c

	P		2P
P=pr ⇒ r=		=
	p		a+b+c

	2P		2P		2P		18
ha+hb+hc=9r ⇔		+		+		=		/ :2P, P>0
	a		b		c		a+b+c

1		1		1		9
	+		+		=
a		b		c		a+b+c

Zostawiam Ci ostatnie przekształcenie i zauważenie równości pomiędzy średnimi

ichich:

chichi: Chciałbym tylko zaznaczyć iż zadanie to pochodzi ze zbioru Pazdro dla klasy 1 LO, więc...

Damian#UDM: Dziękuję za informację.

Damian#UDM:

	sin(320)
ICSP po przekształceniach otrzymałem
	8sin(40)

Damian#UDM: I teraz sin(320)=sin(360−40), chyba dalej dam radę

chichi: niech x=40^o, zatem mamy:

	1
cos(x)cos(2x)cos(4x)=−		/ *sin(x)
	8

	1
sin(x)cos(x)cos(2x)cos(4x)=−		sin(x)
	8

1		1
	sin(2x)cos(2x)cos(4x)=−		sin(x)
2		8

1		1
	sin(4x)cos(4x)=−		sin(x)
4		8

1		1
	sin(8x)=−		sin(x)
8		8

sin(8x)=sin(x) sin(320^o)=−sin(40^o) Q.E.D.

chichi: sin(8x)=−sin(x) tam się minus zgubił

Szkolniak: I co z tego, że takie zadanie pochodzi ze zbioru zadań dla 1 klasy LO? Jak dla mnie trochę niezbyt ten komentarz, zbędne takie 'docinki' − bo nie wiem jak inaczej to rozumieć.

chichi: To z tego, że ktoś je stamtąd buchnął i wkleił do arkusza z zadania.info

chichi: Aaaa, bo Ty to zinterpretowałeś jako docinkę, że jak jest z podręcznika dla 1 klasy, to jest łatwe. Nie o to tam chodziło, tylko o to co napisałem wyżej

Szkolniak: Jak jest tak jak mówisz to przepraszam, ale właśnie tak to wyglądało w moich oczach

Saizou : chichi ja bym się tak nie spinał odnośnie "kopiowania" zadań. Praktycznie w każdym podręczniku znajdziesz zadanie typu: udowodnij, że liczba postaci √3−2√2−√3+2√2 jest całkowita. Dokładnie z takimi liczbami. Czy to plagiat? Bardzo często się zdarza, że autorzy piszą zadania z pamięci i nie zawsze pamięta się skąd jest dane zadanie.

chichi: @Saizou ja się nie spinam, tylko zaznaczyłem skąd pochodzi. Co do tego, że autorzy piszą zadania z pamięci, to może być okej, natomiast przy tworzeniu arkuszy zadania powinno się tworzyć nowe, nie szukać w pamięci zadań, które już zostały przez kogoś wymyślone

Saizou : Może na jakieś ważne egzaminy, ale nie w wersji przygotowawczej

Damian#UDM: chichi to zadanie z sinusem zrobiłem sposobem ICSP i też fajnie wyszło

Damian#UDM: A na zadanie 10. ktoś ma pomysł ?

ICSP: x³−6x²+3x−7 = x³ − 6x² + 12x − 8 − 9x + 1 = (x−2)³ − 9(x−2) +17 v[−2 ,17]

Saizou : 10. Wykres funkcji f(x)=x³−6x²+3x−7 przesunięto o wektor v i w wyniku tej operacji otrzymano wykres, który jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wektora v. Niech v =[p, q]. Wówczas po przesunięciu f o wektor v otrzymamy g(x) = (x−p)³−6(x−p)²+3(x−p)−7+q. g jest symetryczny względem układu współrzędnych, czyli zachodzi równość g(x) = −g(−x), tzn. (x−p)³−6(x−p)²+3(x−p)−7+q = −[(−x−p)³−6(−x−p)²+3(−x−p)−7+q] Przyrównaj wielomiany

chichi: @Damian#UDM to jest przecież to samo rozwiązanie, to nie wiem jak robiłeś sposobem @ICSP, ja po prostu mnożę przez 8 w ostatnim etapie, to jedyna różnica

ICSP: na końcu powinno być −17. Wektor dobry.

Damian#UDM: chichi moje jest inne Ja przekształcałem tylko lewą stronę, aż do szedłem do prawej, a nie obie strony równania. Moim zdaniem to różnica

Damian#UDM: (0 − 2) PR JZMzM Oblicz wartość wyrażenia |√313−120√2−12√2|³ . Zakoduj cyfrę setek, dziesiątek i jedności trzymanego wyniku. Odpowiedź do 1|0|5 Nie mogę tego zwinąć. Wydaje mi się, że trzeba użyć wzoru skróconego mnożenia trzeciego stopnia. Proszę o pomoc

Louie314: Zwinięcie obejdzie się za pomocą wzoru stopnia drugiego, będzie to (12√2−5)² i chyba źle przepisałeś odpowiedź, bo wyjdzie z tego |−5|³=125.

chichi: |√313−120√2−12√2|³=|√(5−12√2)²−12√2|³=|12√2−5−12√2|³=|−5|³=125

ICSP: Przewidujesz: √313 − 120√2 = a + b√2 a² + 2b² = 313 2ab = − 120 a² + 2b² = 313 ab = − 60 co po rozwiązaniu da np: a = −5 , b = 12

figo: 313−120√2= (5−12√2)²

Damian#UDM: Tak, spojrzałem na inną odpowiedź. Dziękuję wam

Damian#UDM: To przewidywanie to super pomysł, wykorzystam go

6latek: √313−120√2= √313−√28800 √313−√28800= √x−√y i x≥y (przy roznicy ) podnosze do potegi drugiej obie strony 313−√28800= x+y−2√xy x+y=313 −2√xy=−√28800 2{xy}=√28800 mam do rozwiazania uklad rownan {x+y=313 {2√xy=√28800 − to rownanie do potegi drugiej {x+y=313 {4xy=28800 x+y=313 xy=7200 po rozwiazaniu kilku przykladow te obliczenia dotad bedziesz robil w pamieci x=313−y (313−y)*y=7200 −y²+313y−7200=0 y²−313y+7200=0 −zmudne obliczenia y=25 lub y=288 dla y=25 x=288 dla y=288x=25 stad dla x>y √313−120√2= √288−√25= √144*2−5= 12√2−5 Dla prostych przykladow bedziesz takie pierwiastki liczyl w pamieci Do obliczenia tego pierwiastka skorzystalbym z innego wzoru ale juz nie bede mieszal .

Damian#UDM: 19 kwi 2021 12:09 Chciałbym wrócić do rozwiązania chichi zadania z trójkątem, gdzie nie widzę tej zależności między średnimi. 19 kwi 2021 21:09 Również chciałbym wrócić do rozwiązania zadania Saizou, zadanie z przesunięciem o wektor i funkcją symetryczną, Przyrównałem wielomiany i niestety nic mi nie wyszło. Proszę o pomoc Pozdrawiam

Louie314: 10. f(x)=x³−6x²+3x−7 Ustalmy wektor v=[p,q]. Po przesunięciu: g(x)=f(x−p)+q=(x−p)³−6(x−p)²+3(x−p)−7+q=−p³+3 p²x−6 p²−3px²+12px−3 p+q+x³−6x²+3x−7=x³+x²(−6−3p)+x(3p²+12p+3)−p³−6p²−3p+q−7 Ponadto wiadomo, że −g(−x)=g(x). Zatem: −g(−x)=−(−x³+x²(−6−3p)−x(3p2+12p+3)−p³−6p²−3p+q−7)=x³−x²(−6−3p)+x(3p² +12p+3)+p³+6p²+3p−q+7 −g(−x)=g(x) x³−x²(−6−3p)+x(3p²+12p+3)+p³+6p²+3p−q+7=x³+x²(−6−3p)+x(3p²+12p+3)−p³−6p²−3p+q−7 −x²(−6−3p)+p³+6p²+3p−q+7=x²(−6−3p)−p³−6p²−3p+q−7 −2x²(−6−3p)+2p³+12p²+6p−2q+14=0 2x²(6+3p)+2p³+12p²+6p−2q+14=0 x²(6+3p)+p³+6p²+3p−q+7=0 To przekształcenie musi zachodzić dla każdego x należącego do dziedziny funkcji, zatem będziemy chcieli pozbyć się x. Stąd: 6+3p=0 3p=−6 p=−2 q=17 Zatem ten wektor to v=[−2,17].

Damian#UDM: Dziękuje wam za pomoc Na to z wektorem na pewno bym nie wpadł Te matury z portalu zadania są dla mnie bardzo wymagające. Podziwiam was, że potraficie zrobić większość zadań. Miłego tygodnia wam życzę

Mila: Damian, o to zadanie chodzi? Suma długości wszystkich wysokości trójkąta ABC jest 9 razy większa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Mila: 1) h_a+h_b+h_c=9r, gdzie r−promień okręgu wpisanego w ΔABC P− pole ΔABC 2)

	P		a+b+c
P= p*r⇔r=		, gdzie p=
	p		2

	2P
r=
	a+b+c

	1		2P
P=		a*ha⇔ha=
	2		a

	2P
hb=
	b

	2P
hc=
	c

2P		2P		2P		2*9P
	+		+		=		⇔
a		b		c		a+b+c

1		1		1		9
	+		+		=		/ *(a+b+c)
a		b		c		a+b+c

b

c

a

c

a

b

1+

+

+

+1+

+

+

+1=9⇔

a

a

b

b

c

c

b

a

a

c

b

c

(*) (

+

)+(

+

)+(

+

)=6

a

b

c

a

c

b

Wiemy , że dla dodatnich a, b, c Mamy:

	b		a
(		+		)≥2 i równość zachodzi dla a=b
	a		b

	a		c
(		+		)≥2 i równość zachodzi dla a=c
	c		a

	b		c
(		+		)≥2 i równość zachodzi dla b=c
	c		b

równość (8) może zachodzić tylko w przypadku a=b=c⇔ Δ jest równoboczny. Ze średnimi krócej, to zostawiam Saizou i chichi