Oblicz sumę etna: Wyznacz sumę w zależności od n 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1111...1 (ostatni składnik zawiera n cyfr) Proszę o pomoc w rozwiązaniu i wyjaśnienie.

ICSP: 1 = 1 11 = 1 + 10 111 = 1 + 10 + 100 1111 = 1 + 10 + 100 + 1000 S = 1 + 11 + 111 + ... = = 1 + (1 + 10) + (1 + 10 + 100) + ... + (1 + 10 + ... 10...0) = ... W nawiasach masz ciągi geometryczne.

etna: Ale jak to uprościć do jednego wzoru?

ICSP: Znasz wzór na sumę ciągu geometrycznego?

sad: Tak, ale tu jest suma sum..

Filip: 1+11+111+1111+11111+...

	101−1		102−1		10n−1
=		+		+...+
	9		9		9

	10+102+103+...+10n−n
=
	9

	1−10n   10 −n   −9
=
	9

	1−10n   10 −n   −9
Sn=
	9

etna: Właśnie o to mi chodzi − jak połączyć te sumy w nawiasach.

etna: Bardzo mądre. Dzięki!

etna: W odpowiedziach jest jeszcze informacja, że jest drugi sposób (tylko info nic więcej). Czy macie jakieś pomysły?

Mila: A który z podanych jest w odpowiedzi?

Mariusz: Można by ułożyć dwa równania rekurencyjne (jedno na składniki sumy a drugie na sumę) i rozwiązać je funkcją tworzącą ale będzie to dość podobne rozwiązanie do tego co już podali

Filip: no jest drugi sposob, wykorzystac symbol ∑, jednak jak dla mnie bedzie to strzelanie na pale az trafisz − chyba ze da sie to jakos wyznaczyc

Filip: jednak nie

ABC: można pomnożyć sumę przez 10 i odjąć od niej wyjściową sumę stronami

B: https://matematykaszkolna.pl/forum/52597.html

Mila: Zaburzanie sum: S=1+11+111+1111+.............+111.....11 (n−jedynek) /*10 10S=10+110+1110 +11110+...........111..110 10S−S=9+99+999+9999+................+99... 99 9S=10¹−1+10²−1+10³−1+10⁴−1+.......+10ⁿ−1

	10*(1−10n)
9S=		−1*n
	1−10

	10*(10n−1)
9S=		−n
	9

	10*(10n−1)   −n 9		10*(10n−1)−9n
S=		=
	9		81