ciąg
WujekPa: Wyznacz sumę n początkowych wyrazów ciągu (1, 11, 111, ...)
21 maj 20:25
Eta:
n
∑ (n+1 −k) *10k−1
k=1
21 maj 22:12
Bogdan:
Ciąg (a
n):
a
1 = 1, a
2 = 11, a
3 = 111, a
4 = 1111, ... , a
n = 111...111 (n jedynek)
a
n = 10
0 + 10
1 + 10
2 + 10
2 + 10
3 + ... + 10
n−1
a
n jest sumą n wyrazów ciągu geometrycznego: 10
0, 10
1, 10
2, 10
2, 10
3, ... , 10
n−1,
korzystamy z wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego:
| | 10n − 1 | | 10n − 1 | |
an = |
| = |
| . |
| | 10 − 1 | | 9 | |
Tworzymy sumę n wyrazów ciągu (a
n): 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 111...111 =
| | 101 − 1 | | 102 − 1 | | 103 − 1 | | 104 − 1 | | 10n − 1 | |
= |
| + |
| + |
| + |
| + ... + |
| = |
| | 9 | | 9 | | 9 | | 9 | | 9 | |
| | 101 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n − n | | | | 9 | |
= |
| = |
| * |
| = |
| | 9 | | 9 | | 9 | |
| | 10(10n − 1) − 9n | |
Odp.: Sn = |
| |
| | 81 | |
21 maj 23:32