parametr silly goose: Czy ktoś mógłby to wyjaśnić jak narysować albo policzyć? 285180 Wyznacz liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m:

2x2
	=m
x2+4x+4

i jeszcze taki przykład

2|x|
	=m
1+x2

RubikSon: Spróbuj zbadać przebieg zmienności funkcji z lewej strony równania dla obydwu przykładów.

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/285180.html 20 mar 20:27 masz ładne rozwiązanie algebraiczne.

ite: Można też algebraiczne: zrobić założenia i rozwiązać równanie z parametrem m 2x²=m*(x²+4x+4)

silly goose: ojj przepraszam, że założyłam nowy temat, myślałam ze się tamten nie pojawił

2x2
	=m
x2+4x+4

zał. x≠−2 D: x∊R\{−2}

	8x2+16
f'(x)=
	(x+2)4

	8x2+16
f'(x)= 0 ⇔		=0
	(x+2)4

8x²+16=0 x=0 lub x=−2 f'(x)>0 ⇔ x∊ (−∞;−2)∪<0;+∞) ⇒f↗ w (−∞;−2),<0;+∞) f'(x)<0 ⇔ x∊ (−2;0> ⇒ f↘ w (−2;0> dla x=−2 osiąga wartość minimalną, a dla 0 wartość maksymalną co dalej z tym zrobić?

ICSP: Potrzebujesz jeszcze granic: lim_x→−∞ f(x) lim_x→−2⁻ f(x) lim_x→−2⁺ f(x) lim_x→∞ f(x) i możesz rysować.

silly goose: Spróbowałam teraz algebraicznie drugi przykład i wyszło mi coś zupełnie innego niż jest w odpowiedziach

2|x|
	=m
1+x2

2|x|=mx²+m rozpatrzyłam sobie na dwa przypadki x≥0 i x<0, ale najwidoczniej mam źle, pomocy

ite: Taka uwaga: nie jest prawdą, że dla x=−2 funkcja osiąga wartość minimalną /14:38/. Ta liczba nie należy do dziedziny funkcji!

ICSP:

	2|x|
f(x) =
	1 + x2

	2|−x|		2|x|
f(−x) =		=		= f(x)
	1 + (−x)2		1 + x2

Czyli jeśli dla pewnego x > 0 funkcja f przyjmie wartość m to dla −x również ta funkcja przyjmie wartość m. Wystarczy zatem zbadać co się dzieje dla x > 0 i osobno sprawdzić x = 0 mx² − 2x + m = 0 Δ = −4(m² − 1) Δ < 0 ⇒ |m| > 1 − brak rozwiązań Δ = 0 − m = ± 1 Dla m = 1 dostajemy x = 1 > 0 − jedno rozwiązanie Dla m = −1 dostajemy x = −1 < 0 − brak rozwiązań. Δ > 0 − |m| < 1 w tym przypadku o ilości rozwiązań dodatnich decyduje jaki znak mają te rozwiązania.

	2
x1 + x2 =
	m

x₁x₂ = 1 − rozwiązania mają ten sam znak Czyli jeśli

2
	> 0 ⇒ m > 0 − mamy dwa rozwiązania dodatnie
m

2
	< 0 ⇒ m < 0 − mamy dwa rozwiązania ujemne (nie spełniają warunku x > 0 )
m

Stąd Dla x > 0 Mamy 0 rozwiązań gdy m < 0 v m > 1 Jedno rozwiązanie gdy m = 1 Dwa rozwiązania gdy m ∊ (0,1) Z pierwszego wniosku: Dla x < 0 mamy Mamy 0 rozwiązań gdy m < 0 v m > 1 Jedno rozwiązanie gdy m = 1 Dwa rozwiązania gdy m ∊ (0,1) Dla x = 0 :

0
	= m ⇒ m = 0 − dla m = 0 dochodzi nam jedno rozwiązanie.
1

Ostatecznie: cztery rozwiązania dla m ∊ (0 , 1) dwa rozwiązania dla m = 1 jedno rozwiązanie dla m = 0 brak rozwiązań dla pozostałych m.

silly goose: Dziękuje