Całki na podstawienie Eulera Mariusz: Filip W jednym z wątków chciałeś abym podał ci całki na podstawienie Eulera Myślę jednak że najpierw dobrze by było przećwiczyć metodę Ostrogradskiego wydzielenia części wymiernej całki którą pokrótce przedstawiłem w poniżej wymienionym wątku https://matematykaszkolna.pl/forum/406612.html Dlaczego chciałbym abyś przećwiczył najpierw metodę Ostrogradskiego ? Otóż po podstawieniu Eulera możesz dostać całkę którą wygodnie będzie obliczyć metodą Ostrogradskego Całki na przećwiczenie metody Ostrogradskiego Z rosyjskiego zbioru

	x7+2
∫		dx
	(x2+x+1)2

	4x2−8x
∫		dx
	(x−1)2(x2+1)2

	x2+x+1
∫		dx
	x5−2x4+x3

	x6+x4−4x2−2
∫		dx
	x3(x2+1)2

	(x2−1)2
∫		dx
	(1+x)(1+x2)3

	1
∫		dx
	x4(x3+1)2

	1
∫		dx
	(x2+2x+10)3

	x+2
∫		dx
	(x2+2x+2)3

	x5−x4−26x2−24x−25
∫		dx
	(x2+4x+5)2(x2+4)2

	3x4+4
∫		dx
	x2(x2+1)3

	5−3x+6x2+5x3−x4
∫		dx
	x5−x4−2x3+2x2+x−1

	9
∫		dx
	5x2(3−2x2)3

	2(1−t2)5
∫		dt
	(t2+1)2(t4+14t2+1)2

W tej ostatniej całce niby aż dwanaście współczynników ale większość z nich będzie równa zero Zanim przystąpisz do metody Ostrogradskiego sprawdź czy 1. Stopień licznika jest większy od stopnia mianownika (jeśli tak dzielisz licznik i mianownik) 2. Czy możesz skrócić licznik z mianownikiem Dla pierwszego i trzeciego podstawienia Eulera wygenerowałem taki plik https://prnt.sc/wae3ip (Pierwsze i trzecie podstawienie wystarczą do policzenia każdej całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx bo gdy a>0 to możemy użyć pierwszego podstawienia a gdy a < 0 to b²−4ac>0 bo gdyby przy a < 0 wyróżnik był ujemny to trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne a co za tym idzie funkcja podcałkowa przyjmowałaby wartości urojone) Jednak warto znać także i drugie podstawienie bo czasem prowadzi ono do całki która wymaga mniej obliczeń Całki na przećwiczenie podstawień Eulera (też w większości przypadków pochodzą one z rosyjskiego zbioru)

	1
∫		dx
	x√x2+x+1

	1
∫		dx
	x√x2+4x−4

	1
∫		dx
	x√x2+2x−1

	1
∫		dx
	x√2+x−x2

	√2x+x2
∫		dx
	x2

	1
∫		dx
	(x−1)√x2+x+1

	1
∫		dx
	(2x−3)√4x−x2

∫√x²−2x−1dx ∫√3x²−3x+1dx ∫√1−4x−x²dx

	1
∫		dx
	x−√x2−x+1

	1
∫		dx
	x2(x+√1+x2)

	1
∫		dx
	1+√x2+2x+2

	x2
∫		dx
	√1−2x−x2

	2x2−3x
∫		dx
	√x2−2x+5

	3x2−5x
∫		dx
	√3−2x−x2

	3x3
∫		dx
	√x2+4x+5

	x4
∫		dx
	√x2+4x+5

	1
∫		dx
	(x3+3x2+3x+1)√x2+2x−3

	√1+x2
∫		dx
	2+x2

	x−1
∫		dx
	x2√2x2−2x+1

	2x+3
∫		dx
	(x2+2x+3)√x2+2x+4

	x3
∫		dx
	√1+2x−x2

	√x2+2x+2
∫		dx
	x2

	x
∫		dx
	(x−1)2√1+2x−x2

	1
∫		dx
	(x2+x+1)√x2+x−1

	x−√x2+3x+2
∫		dx
	x+√x2+3x+2

	1
∫		dx
	(x+2)√4−x2

A teraz całka którą kiedyś dostałem z równania różniczkowego

	1
∫		dx
	x2(4x2−3)2√x2−1

HGH: Mariusz, szczerze podziwiam za wkład w to forum. Masz prace zwiazana z matematyka, czy to jedynie hobby/pozostałości z przeszłości?

Mariusz: Raczej hobby/pozostałości z przeszłości?

Filip:

	x7+2		(x5−x4+x2−x)(x2+x+1)+x+2
∫		dx=∫		dx=
	(x2+x+1)2		(x2+x+1)2

	x5−x4+x2−x		x+2
=∫		dx+∫		dx=
	x2+x+1		(x2+x+1)2

	2x+1		x+2
=∫(x3−2x2+x+2)dx−2∫		dx+∫		dx=
	x2+x+1		(x2+x+1)2

	1		2		1		x+2
=		x4−		x3+		x2+2x−2ln|x2+x+1|+∫		dx
	4		3		2		(x2+x+1)2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Teraz pozostaje nam do policzenia taka całka

	x+2
∫		dx
	(x2+x+1)2

	x+2		A1x+A0		B1x+B0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+x+1)2		x2+x+1		x2+x+1

x+2		A1(x2+x+1)−(2x+1)(A1x+A0)		B1x+B0
	=		+
(x2+x+1)2		(x2+x+1)2		x2+x+1

x+2=A₁x²+A₁x+A₁−2A₁x²−2xA₀−A₁x−A₀+2B₁x³+B₁x²+B₁x+B₀x²+B₀x+B₀ x+2=2B₁x³−(A₁−B₀−B₁)x²+(B₁+B₀−2A₀)x+B₀−A₀ 0=2B₁x³−(A₁−B₀−B₁)x²+(B₁+B₀−2A₀−1)x+B₀−A₀−2 B₁=0 A₁−B₀−B₁=0 B₁+B₀−2A₀−1=0 B₀−A₀=2 B₁=0 A₁=B₀ A₀=−1 B₀=1

	x+2		x−1		1
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+x+1)2		x2+x+1		x2+x+1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Zostaje nam taka całka

	1		1		2		4x+2
∫		dx=∫		=		arctg
	x2+x+1		3   1   +(x+ )2 4   2		√3		√3

Więc

	x7+2
∫		dx=
	(x2+x+1)2

	1		2		1
=		x4−		x3+		x2+2x−2ln|x2+x+1|+
	4		3		2

	x−1		2		4x+2
+		+		arctg		+C
	x2+x+1		√3		√3

Porównując wynik z wolframem moja całka finalna się trochę różni. Zapewne walnąłem się we wzorze Ostrogradskiego. Może uda znaleźć ci się błąd Wynik z wolframa to:

1		2		1
	x4−		x3+		x2+2x−2ln|x2+x+1|+
4		3		2

	x		2		2x+1
+		+		arctg		+C
	x2+x+1		√3		√3

Mariusz: Dzielenie może być Zróżniczkowałeś dobrze tę równość Skąd ta dwójka przy B₁ ? To jednak nie wpłynęło na wynik bo i tak B₁=0 Zapomniałeś zebrać A₁ przy porównywaniu współczynników (chodzi o wyrazy wolne) A i jeszcze chyba zapomniałeś wyciągnąć pierwiastek z tej czwórki że masz taki argument arcusa tangensa P.S masz kolejne układy równań do przetestowania swojego programiku

Filip: Racja, błąd z arctg wynika z tego, iż nie skróciłem 2 ze sobą, przez co dostałem 4x+2, teraz dostaje 2x+1 Co do tego podstawienia nadal pomimo uwzględnienia A₁ znowu nie wychodzi

Filip: B₁=0 A₁−B₀−B₁=0 => B₀=A₁ B₁+B₀−2A₀−1=0 => A₁−2A₀=1 B₀−A₀+A₁=2 => A₀=2A₁−2 A₁−4A₁+4=1 A₁=1 A₀=0 B₁=0 B₀=1 Błąd znaleziony, teraz wychodzi poprawnie

Mariusz: Filip , jest jeszcze jeden sposób szukania mianowników Q₁(x) oraz Q₂(x) we wzorze Ostrogradskiego i przydatny jest gdy nie masz podanego rozkładu mianownika Q(x) na czynniki Pamiętasz algorytm Euklidesa ? W wersji z dzieleniem działa on także dla wielomianów Masz wtedy że Q₁(x)=NWD(Q(x),Q'(x)) Natomiast Q₂(x) obliczasz z tego że Q(x)=Q₁(x)Q₂(x) Tak więc moja propozycja jest taka gdy masz podany rozkład mianownika Q(x) na czynniki to z niego korzystasz a gdy nie masz go podanego to nie rozkładasz mianownika na czynniki tylko liczysz NWD(Q(x),Q'(x)) korzystając z algorytmu Euklidesa

Filip: Zacząłem liczyć drugą całkę:

	4x2−8x		x2−2x
∫		dx=4∫		dx
	(x−1)2(x2+1)2		(x−1)2(x2+1)2

	x2−2x		A0x+A1		B0x+B1
∫		dx=		+∫		dx
	(x−1)2(x2+1)2		(x−1)(x2+1)		(x−1)(x2+1)

x2−2x		A0(x−1)(x2+1)−(A0x+A1)(3x2−2x+1)
	=		+
(x−1)2(x2+1)2		(x−1)2(x2+1)2

	(B0x+B1)(x3−x2+x−1)
+
	(x−1)2(x2+1)2

Czy jest to dobry sposób? Widzę, że obliczenia później mogą być żmudne

Filip: x²−2x=A₀x³−A₀x²+A₀x−A₀−(3A₀x³−2A₀x²+A₀x+3A₁x²−2A₁x+A₁)+ +B₀x⁴−B₀x³+B₀xx²−B₀x+B₁x³−B₁x²+B₁x−B₁ x²−2x=A₀x³−A₀x²+A₀x−A₀−3A₀x³+2A₀x²−A₀x−3A₁x²+2A₁x−A₁+ +B₀x⁴−B₀x³+B₀x²−B₀x+B₁x³−B₁x²+B₁x−B₁ 0=B₀x⁴+(A₀−3A₀−B₀+B₁)x³+(A₀−3A₁+B₀−B₁−1)x²+(2A₁+B₁−B₀+2)x−(A₁+A₀+B₀) B₀=0 −2A₀+B₁=0 => B₁=2A₀ A₀−3A₁−B₁=1 2A₁+B₁=−2 A₁+A₀=0 => A₁=−A₀

	1
A0=
	2

	1
A1=−
	2

B₀=0 B₁=1 Obliczyłem współczynniki, jednak nie wygląda to na dobre rezultaty, musze sprawdzić

Mariusz : Mianowniki masz stopnia trzeciego więc liczniki lepiej przewidywać jako wielomiany stopnia drugiego

Filip: aaa, okej, czyli wychodzę z czegoś takiego:

	x2−2x		A0x2+A1x+A2
∫		dx=		+
	(x−1)2(x2+1)2		(x−1)(x2+1)

	B0x2+B1x+B2
+∫		dx
	(x−1)(x2+1)

Mariusz : Tak , zawsze najlepiej jest założyć że przewidywane liczniki są wielomianami stopnia o jeden mniejszego niż odpowiadające im wielomiany w mianownikach

Filip:

	x2−2x		A0x2+A1x+A2
∫		dx=		+
	(x−1)2(x2+1)2		(x−1)(x2+1)

	B0x2+B1x+B2
∫		dx
	(x−1)(x2+1)

x2−2x
	=
(x−1)2(x2+1)2

	(2A0x+A1)(x−1)(x2+1)−(3x2−2x+1)(A0x2+A1x+A2)
=		+
	(x−1)2(x2+1)2

	(B0x2+B1+B2)(x−1)(x2+1)
+
	(x−1)2(x2+1)2

x² − 2 x = −A₀ x⁴ − 2 A₁ x³ + A₀ x² + A₁ x² − 3 A₂ x² − 2 A₀ x + 2 A₂ x − A₁ − A₂ + B₀ x⁵ − B₀ x⁴ + B₀ x³ + B₁ x³ + B₂ x³ − B₀ x² − B₁ x² − B₂ x² + B₁ x + B₂ x − B₁ − B₂ 0 = B₀x⁵ + (−A₀ − B₀)x⁴ + (−2A₁ + B₁ + B₂)x³ + (A₀ + A₁ − 3A₂ − B₀ − B₁ − B₂ − 1)x² + (A₀ + A₁ − 3A₂ − B₀ − B₁ − B₂)x² + (−2A₀ + 2A₂ + B₁ + 2)x + (−A₁ − A₂ − B₁ − B₂) B₀ = 0 A₀ = 0 −2A₁ + B₁ + B₂ = 0 A₁ − 3A₂ − B₁ − B₂ = 1 A₁ − 3A₂ − B₁ − B₂ = 0 −2A₂ + B₁ = −2 A₁ + A₂ + B₁ + B₂ = 0 Niestety powyższy układ nie ma rozwiązań, postaram się jutro znaleźć błąd

Mariusz: Pomyliłeś się przy przepisywaniu (B₀x²+B₁+B₂) a także przy wymnażaniu Układ równań jaki powinieneś dostać B₀=0 −B₀+B₁−A₀=0 B₀−B₁+B₂−2A₁=0 −B₀+B₁−B₂+A₀+A₁−3A₂=1 −B₁+B₂−2A₀+2A₂=−2 −B₂−A₁−A₂=0

Filip: W takim razie po rozwiązaniu układu równań dostajemy takie liczby?

	3
A0=
	4

	1
A1=−
	4

A₂=0 B₀=0

	3
B1=
	4

	1
B2=
	4

Mariusz: No tak wyszły te liczby

Filip: Została do policzenia całka

	3x+1
4∫		dx
	(x−1)(x2+1)

3x+1		A		Bx+C
	=		+
(x−1)(x2+1)		x−1		x2+1

3x+1=Ax²+Bx²−Bx+Cx−C 0=(A+B)x²+(C−B−3)x−C−1 A+B=0 C−B−3=0 −C−1=0 C=−1 B=−4 A=4

	3x+1		1		2x		1
∫		dx=4∫		dx−2∫		−∫		=
	(x−1)(x2+1)		x−1		x2+1		1+x2

=4ln|x−1|−2ln|x²+1|−arctg(x)+C Tak mi wyszło, więc finalnie: 16ln|x−1|−8ln|x²+1|−4arctg(x)+C no i trzeba to zabrać razem

Filip:

	x2+x+1		x2+x+1		(x−1)2+3x
∫		dx=∫		dx=∫		dx=
	x5−2x4+x3		x3(x−1)2		x3(x−1)2

	1		1		1		1
=∫		dx+3∫		dx=−		x−2+3∫		dx
	x3		x2(x−1)2		2		x2(x−1)2

	1		Ax+B		Cx+D
∫		dx=		+∫		dx
	x2(x−1)2		x(x−1)		x(x−1)

1		A(x2−x)−(Ax+B)(2x−1)		(Cx+D)(x2−x)
	=		+
x2(x−1)2		x2(x−1)2		x2(x−1)2

1=Ax²−Ax−2Ax²+Ax−2Bx+B+Cx³−Cx²+Dx²−Dx 0=Cx³+(D−C−A)x²+(−2B−D)x−1+B C=0 D−C−A=0 −2B−D=0 B−1=0 B=1 D=−2 C=0 A=−2

	1		−2x+1		1
∫		dx=		+−2∫		dx
	x2(x−1)2		x(x−1)		x(x−1)

1		A		B
	=		+
x(x−1)		x		x−1

1=Ax−A+Bx 0=(A+B)x−A−1 −A−1=0 A=−1 B=1

	1		−2x+1		1
∫		dx=		−2∫		dx=
	x2(x−1)2		x(x−1)		x(x−1)

	−2x+1		1		1
=		+2∫		dx−2∫		dx=
	x(x−1)		x		x−1

	−2x+1
=		+2ln|x|−2ln|x−1|
	x(x−1)

	x2+x+1		1		2x−1
∫		dx=−		x−2−		+2ln|x|−2ln|x−1|+C
	x5−2x4+x3		2		x(x−1)

Filip:

	6x−3
=...−		+6ln|x|−6ln|x−1|+C
	x(x−1)

Mariusz: W tej drugiej całce zapomniałeś to co dostałeś z metody Ostrogradskiego przez 3 Jeśli chodzi o pierwszą całkę to 3x+1=2(x²+1)−(x−1)(2x−1)

Filip: (1) Tak, we wpisie z 00:56 już to poprawiłem (2)

	3x+1		1		2x		1
∫		dx=2∫		dx−∫		dx+∫		dx=
	(x−1)(x2+1)		x−1		x2+1		x2+1

=2ln|x−1|−ln|x²+1|+arctgx Wynik się trochę różni od mojego (3) Kolejna całka

	x6+x4−4x2−2		Ax3+A1x2+A2x+A3
∫		dx=		+
	x3(x2+1)2		x2(x2+1)

	Bx2+B1x+B2
+∫
	x(x2+1)

I liczyć z tego niewiadome, czy jest jakiś szybszy sposób? Czy rozkład metoda Ostrogradskiego jest dobrze zrobiony?

Mariusz: Rozkład do metody Ostrogradskiego dobry Szybszy sposób pewnie by się znalazł , gdybyś np podstawił t=x²+1 W zbiorze w którym znalazłem te całki były one podane na przećwiczenie metody Ostrogradskiego Może i rosyjskiego nie znam ale cyrylicę jednak tak

Mariusz: Pytałeś o szybszy sposób po podstawieniu miałbyś mniej współczynników

	x6+x4−4x2−2		x(x6+x4−4x2−2)
∫		dx=∫		dx
	x3(x2+1)2		x4(x2+1)2

t=x² dt=2xdx

	1
xdx=		dt
	2

1		t3+t2−4t−2
	∫		dt
2		t2(t+1)2

Filip: Ja to wymnożyłem, teraz muszę to uporządkować i rozwiązać układ równań (mam nadzieję, że poprawnie wymnożyłem) x⁶+x⁴−4x²−2= =3A₀x⁶+3A₀x⁴+2A₁x⁵+2A₁x³_A2x⁴+A₂x²− −4A₀x⁶−4A₁x⁵−2A₀x⁴−4A₂x⁴−2A₁x³−4A₁x³−2A₂x²−2A₃x+ +B₀x⁶+B₁x⁵+B₀x⁴+B₂x⁴+B₁x³+B₂x³

Filip: No tak, po twoim podstawieniu będzie o wiele łatwiej

	t3+t2−4t−2		Ax+B		Cx+D
∫		dt=		+∫		dt
	t2(t+1)2		t2+t		t2+t

t³+t²−4t−2=A(t²+t)−(2t+1)(At+B)+(Ct+D)(t²+t) t³+t²−4t−2=At²+At−2At−2Bt−At−B+Ct³+Ct²+Dt²+Dt 0=(C−1)t³+(A+C+D−1)t²+(D−2B−2A+4)t+2−B C−1=0 A+C+D−1=0 D−2B−2A+4=0 2−B=0 C=1 B=2 A+D=0 D−2A=0 A=0 D=0

1		t3+t2−4t−2		1		2		t
	∫		dt=		(		+∫		dt)=
2		t2(t+1)2		2		t2+t		t2+t

	1		1
=		+		ln|t+1|+C
	t2+t		2

Wracam do podstawienia:

	1		1
...=		+		ln|x2+1|+C
	x4+x2		2

Mariusz:

	x6+x4−4x2−2		A0x3+A1x2+A2x+A0
∫		dx=
	x3(x2+1)2		x2(x2+1)

	B0x2+B1x+B2
+∫		dx
	x(x2+1)

x6+x4−4x2−2		(3A0x2+2A1x+A2)x2(x2+1)2
	=
x3(x2+1)2		x4(x2+1)2

	(A0x3+A1x2+A2x+A0)(4x3+2x)
−		+
	x4(x2+1)2

B0x2+B1x+B2
x(x2+1)

Mariusz: No ok mnie też raki wynik wyszedł co tobie z podstawieniem i też liczyłem z podstawieniem

Filip:

	(x2−1)2		(x−1)2(x+1)
∫		dx=∫		dx
	(x+1)(x2+1)3		(x2+1)3

No i tutaj stosuje Ostrogradskiego w taki sposób:

	(x−1)2(x+1)		A0x+A1		B0x+B1
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+1)3		x2+1		x2+1

Różniczkuję stronami:

(x−1)2(x+1)
	=
(x2+1)3

	(A0(x2+1)−2x(A0x+A1))(x2+1)		(B0x+B1)(x2+1)2
=		+
	(x2+1)3		(x2+1)3

Czy tak można do tego podejść?

Mariusz: Pierwszy krok dobry Co do metody Ostrogradskiego to przewidujesz całkę w ten sposób

	(x−1)2(x+1)		A0x3+A1x2+A2x+A3
∫		=		+
	(x2+1)3		(x2+1)2

	B0x+B1
∫		dx
	x2+1

Filip: No właśnie z tym miałem mały problem, jak tak zrobię, to po zróżniczkowaniu dostanę w jednym z mianowników (x²+1)⁴, a po lewej stronie licznika będę mieć (x²+1)³, wtedy pozostałe wyrażenia muszę rozszerzyć do mianownika (x²+1)⁴?

Mariusz: Po zróżniczkowaniu ze wzoru na pochodną ilorazu

	B0x+B1
jeden czynnik (x2+1) powinien ci się skrócić i wyrażenie
	x2+1

rozszerzasz tak aby w mianowniku dostać (x²+1)³

Filip: Mhm, chyba to widzę

(x−1)2(x+1)
	=
(x2+1)3

(3A0x2+2A1x+A2)(x2+1)2−4x(x2+1)(A0x3+A1x2+A2x+A3)
	+
(x2+1)4

(B0x+B1)(x2+1)2
	=
(x2+1)3

(3A0x2+2A1x+A2)(x2+1)−4x(A0x3+A1x2+A2x+A3)
	+
(x2+1)3

(B0x+B1)(x2+1)2
(x2+1)3

(x−1)²(x+1)=−A₀x⁴−2A₁x³+3A₀x²−3A₂x²+2A₁x−4A₃x+A₂+ B₀x⁵+B₁x⁴+2B₀x³+2B₁x²+B₀x+B₁ x³−x²−x+1=−A₀x⁴−2A₁x³+3A₀x²−3A₂x²+2A₁x−4A₃x+A₂+ B₀x⁵+B₁x⁴+2B₀x³+2B₁x²+B₀x+B₁ 0= B₀x⁵+ (−A₀+B₁)x⁴+ (−1−2A₁+2B₀)x³+ (1+2B₁+3A₀−3A₂)x²+ (1+2A₁−4A₃+B₀)x+ A₂+B₁−1 B₀=0 B₁−A₀=0 −1−2A₁+2B₀=0 1+2B₁+3A₀−3A₂=0 1+2A₁−4A₃+B₀=0 A₂+B₁−1=0 B₀=0

	1
B1=−
	2

	3
A0=
	2

	1
A1=−
	2

	3
A2=
	2

A₃=0

	(x−1)2(x+1)		1		3x3−x2+3x		1
∫		=		(		−∫		dx)=
	(x2+3)3		2		(x2+1)2		x2+1

	1		3x3−x2+3x
=		(		−arctgx)+C
	2		(x2+1)2

Filip:

	1
∫		dx=
	x4(x3+1)2

	A0x4+A1x3+A2x2+A3x+A4		B0x4+B1x3+B2x2+B3x+B4
=		+∫
	x2(x3+1)		x2(x3+1)

1=(4A₀x³+3A₁x²+2A₂x+A₃)(x⁵+x²)−(5x⁴+2x)(A₀x⁴+A₁x³+A₂x²+A₃x+A₄)+ +(B₀x⁴+B₁x³+B₂x²+B₃x+B₄)(x⁵+x²) 0=4A₀x⁸+3A₁x⁷+2A₂x⁶+4A₀x⁵+A₃x⁵+3A₁x⁴+2A₂x³+A₃x²−5A₀x⁸−5A₁ x⁷−5A₂x⁶−2A₀x⁵−5A₃x⁵−2A₁x⁴−5A₄x⁴−2A₂x³−2A₃x²−2A₄x+B₀x⁹+B₁ x⁸+B₂x⁷+B₀x⁶+B₃x⁶+B₁x⁵+B₄x⁵+B₂x⁴+B₃x³+B₄x²−1 B₀=0 B₁−A₀=0 B₂−2A₁=0 B₃−3A₂=0 B₁+B₄+2A₀−4A₃=0 A₁+B₂−5A₄=0 B₃=0 B₄−A₃=0 A₄=0 B₁=1 Coś żle wymnożyłem, bo wychodzą dwa różne wyniki jednej zmiennej − czy tak liczyć tę całkę jak wyżej?

Mariusz:

	1
∫		dx=
	x4(x3+1)2

A0x5+A1x4+A2x3+A3x2+A4x+A5
x3(x3+1)

	B0x3+B1x2+B2x+B3
+∫		dx
	x(x3+1)

Tutaj także tak jak w jednej z poprzednich całek podstawienie pozwoli zmniejszyć liczbę współczynników

	1		x2
∫		dx=∫		dx
	x4(x3+1)2		x6(x3+1)2

t=x³ dt=3x²dx

	1
x2dx=		dt
	3

1		1
	∫		dt
3		t2(t+1)2

Mariusz: Mianownik Q₂(x) czyli mianownik tego ułamka który został ci pod całką miał mieć tylko pierwiastki pojedyncze

Filip: z twoim podstawieniem to o wiele łatwiej będzie

	1		A0t+A1		B0t+B1
∫		dt=		+∫
	t2(t+1)2		t2+t		t2+t

1=A₀(t²+t)−(2t+1)(A₀t+A₁)+(B₀t+B₁)(t²+t) 0=−A₀t²−2A₁t−A₁+B₀t³+B₀t²+B₁t²+B₁t−1 B₀=0 B₁−A₀=0 B₁−2A₁=0 −1−A₁=0 B₀=0 B₁=−2 A₀=−2 A₁=−1

	1		−2t−1		1
∫		dt=		−2∫		dt
	t2(t+1)2		t2+t		t2+t

	1		A		B
∫		dt=		+
	t2+t		t		t+1

1=At+A+Bt 0=(A+B)t+A−1 A=1 B=−1

1

−2t−1

1

−2t−1

1

1

∫

dt=

−2∫

dt=

−2(∫

dt−∫

dt)

t2(t+1)2

t2+t

t2+t

t2+t

t

t+1

1		1		1		−2t−1
	∫		dt=		(		−2ln|t|+2ln|t+1|)+C
3		t2(t+1)2		3		t2+t

Wracając do podstawienia

	1		1		−2x3−1
∫		=		(		−2ln|x3|+2ln|x3+1|)+C
	x4(x3+1)2		3		x6+x3

Jeszcze postaram się zrobić moim sposobem − bez podstawienia, wskazałeś błąd

Filip:

	1		A0x3+A1x2+A2x+A3		B0x+B1
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+2x+10)3		(x2+2x+10)2		x2+2x+10

1
	=
(x2+2x+10)3

	(3A0x2+2A1x+A2)(x2+2x+10)2−(4x+4)(x2+2x+10)(A0x3+A1x2+A2x+A3)
=
	(x2+2x+10)4

	(B0x+B1)(x2+2x+10)2
+
	(x2+2x+10)3

1=−A₀x⁴+2A₀x³−2A₁x³+30A₀x²−3A₂x²+20A₁x−2A₂x−4A₃x+10A₂−4A₃+ +B₀x⁵+4B₀x⁴+B₁x⁴+24B₀x³+4B₁x³+40B₀x²+24 B₁x²+100B₀x+40B₁x+100B₁

	1
A0=
	216

	1
A1=
	72

	1
A2=
	12

	2
A3=
	27

B₀=0

	1
B1=
	216

	1		1		x3+3x2+18x+16		1
∫		dx=		(		+∫		dx)
	(x2+2x+10)3		216		(x2+2x+10)2		x2+2x+10

	1		1		1		x+1
∫		dx=∫		dx=		arctg(		)+C
	x2+2x+10		(x+1)2+9		3		3

Finalnie:

	1		1		x3+3x2+18x+16		1		x+1
∫		dx=		(		+		arctg(		))+C
	(x2+2x+10)3		216		(x2+2x+10)2		3		3

Mariusz: Dwie ostatnie całki masz dobrze policzone

Filip:

	x+2		A0x3+A1x2+A2x+A3		B0x+B1
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+2x+2)3		(x2+2x+2)2		x2+2x+2

x+2
	=
(x2+2x+2)3

(3A0x2+2A1x+A2)(x2+2x+2)2−2(2x+2)(x2+2x+2)(A0x3+A1x2+A2x+A3)
	+
(x2+2x+2)4

	(B0x+B1)(x2+2x+2)2
+
	(x2+2x+2)3

x+2
	=
(x2+2x+2)3

(3A0x2+2A1x+A2)(x2+2x+2)−(4x+4)(A0x3+A1x2+A2x+A3)
	+
(x2+2x+2)3

	(B0x+B1)(x2+2x+2)2
+
	(x2+2x+2)3

x+2=(3A₀x²+2A₁x+A₂)(x²+2x+2)−(4x+4)(A₀x³+A₁x²+A₂x+A₃)+ +(B₀x+B₁)(x²+2x+2)² x+2=−A₀x⁴+2A₀x³−2A₁x³+6A₀x²−3A₂x²+4A₁x−2A₂x−4A₃x+2A₂−4A₃+ +B₀x⁵+4B₀x⁴+B₁x⁴+8B₀x³+4B₁x³+8B₀x²+8B₁x²+4B₀x+8B₁x+4B₁ B₀=0 B₁−A₀=0 2A₀−2A₁+4B₁=0 6A₀−3A₂+8B₁=0 4A₁−2A₂−4A₃+*B₁=0 2A₂−4A₃+4B₁=2

	35
A0=
	8

	105
A1=
	8

	71
A2=
	4

	51
A3=
	4

B₀=0

	35
B1=
	8

	x+2		35   105   71   51   x3+ x2+ x+ 8   8   4   4
∫		dx=		+
	(x2+2x+2)3		(x2+2x+2)2

	35		1
+		∫		dx
	8		x2+2x+2

	1		1
∫		dx=∫		dx=arctg(x+1)+C
	x2+2x+2		(x+1)2+1

	x+2
∫		dx=
	(x2+2x+2)3

	35   105   71   51   x3+ x2+ x+ 8   8   4   4		35
=		+		arctg(x+1)+C
	(x2+2x+2)2		8

Filip: Jak podszełbyś do kolejnej całki?

	x5−x4−26x2−24x−25
∫
	(x2+4)2(x2+4x+5)2

Może jest jakieś sprytne podstawienie/sprytny sposób który ułatwi rachunki

Boguś: https://matematykaszkolna.pl/forum/

Mariusz: W tej poprzedniej całce nie porównałeś wszystkich wyrazów i otrzymałeś zły układ równań W tej całce nie widzę aby tak łatwo dało się zmniejszyć liczbę współczynników Rozkładając na sumę ułamków prostych też miałbyś osiem współczynników

Filip: Hmm, no właśnie nie widzę gdzie zjadłem współczynniki przy przyrównaniu, jedynie widzę że pominąłem jedynkę − jednak uwzględniłem ją w moich obliczeniach

Mariusz: Ja licząc na kartce (Bez rozwiązywania układu równań zajęło mi to dwie strony A4 ) otrzymałem taki układ równań B₀=0 B₁+4B₀−A₀=0 4B₁+8B₀−2A₁+2A₀=0 8B₁+8B₀−3A₂+6A₀=0 8B₁+4B₀−4A₃−2A₂+4A₁=1 4B₁−4A₃+2A₂=2 Sprawdź u siebie jakich wyrazów nie porównałeś

Filip: No ja błędu nie widzę poza tymi: W układzie równań pominąłem B₀, ponieważ wartość jego wynosi 0 W przedostatnim równaniu zamiast 8 przy B₁ napisałem * No i w przedostatnim równaniu zamiast 1 napisałem 0 po prawej stronie równości Jednak w obliczeniach na kartce raczej tych błędów już nie popełniłem

Mariusz: A sprawdzałeś czy rozwiązałeś ten układ poprawnie W Excelu masz takie funkcje jak Macierz.odw() Macierz.iloczyn() albo w tym programie który pisałeś do eliminacji Gaußa

Filip: O, dobry pomysł aby skorzystać z tego programu, jednak tam dostane wyniki w postaci zmiennoprzecinkowej, jak porównam czy dobrze mi wyszły z tymi tutaj? Zamienie te ułamki na liczby zmiennoprzecinkowe i będę miał mniej więcej podgląd

Filip: Albo rozwiąże mój układ równań i twój i porównam wyniki

Filip: Rozwiązałem twój układ równań (programem), i zupełnie inne wyniki ci wyszły (zakładam, że poprawne bo małe) Tutaj są one: A₀=0.375000 A₁=1.125000 A₂=1.750000 A₃=0.750000 B₀=0.000000 B₁=0.375000

Filip: A nie, z mojego układu równań otrzymałem takie same wyniki licząc za pomocą programu, więc musiałem się pomylić wcześniej Tutaj moje wyniki: A₀=0.375000 A₁=1.125000 A₂=1.750000 A₃=0.750000 B₀=0.000000 B₁=0.375000

Mariusz: Taka wskazówka co do korzystania z programu Nasz program do eliminacji Gaußa sprowadza układ do postaci trójkątnej więc przy założeniu że współczynniki macierzy układu są całkowite to po sprowadzeniu macierzy układu do postaci trójkątkej iloczyn elementów na głównej przekątnej będzie mianownikiem

Mariusz: Programem do wielomianów możesz sprawdzać czy poprawnie wyznaczyłeś wielomiany Q₁(x) oraz Q₂(x)

Mariusz: Możliwe że pomyliłeś się rozwiązując układ równań "ręcznie" Właśnie takie wyniki powinieneś otrzymać jakie podał program

Filip: Tak wygląda macierz górnotrójkątna dla tego układu równań 6.000000 0.000000 −3.000000 0.000000 8.000000 0.000000 4.000000 −2.000000 −4.000000 8.000000 0.000000 0.000000 2.000000 −4.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 −2.000000 5.333333 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.666667

Filip: I teraz tutaj pytanie, czy da się jak tutaj mam przykładowo 0.666667 sprowadzić to do ułamka prostego w C? Jeśli tak czy będzie to mniej więcej dokładne?

Filip: Da się, ale widzę że w C++, więc wyniki układu równań mogę do pliku zapisywać, następnie z innego programu z C++ czytać z pliku i zamieniać

Mariusz: Teraz jak policzysz iloczyn elementów na głównej przekątnej może być mianownikiem elementów występujących w rozwiązaniu równania (Wynika to ze wzorów Cramera i z teko że iloczyn elementów na głównej przekątnej to wyznacznik macierzy)

Filip: Tak na marginesie, teraz mam cały zestaw do rozwiązywania takich układów równań + zamienia mi to na ułamki proste. Kod wziąłem ze stacka x: 0.375 Fraction: 3/8 x: 1.125 Fraction: 9/8 x: 1.75 Fraction: 7/4 x: 0.75 Fraction: 3/4 x: 0.375 Fraction: 3/8

Mariusz: No to spróbuj policzyć tę całkę z 17 sty 2021 00:59 Korzystając z programiku do wielomianów który napisaliśmy możesz − wymnożyć wielomiany w mianowniku aby łatwiej było policzyć pochodną mianownika Korzystając z programu liczysz NWD mianownika i jego pochodnej a wynik oznaczasz Q1 a następnie dzielisz Q przez Q1 i iloraz oznaczasz Q2

Filip: Q₁(x)=+31.947070x⁴ +127.788280x³ +287.523629x² +511.153119x¹ +638.941399x⁰ yyy tak ma wyjść?

Filip: Q₂(x)=+0.782544x¹ −3.881420x⁰

Filip: Wygląda na to, ze nasza funkcja GCD() nie działa poprawnie, internetowa funkcja wypluwa taki wynik: Q₁(x)=x⁴+4x³+9x²+16x+20... co nam daje Q₁(x)=(4+x²)(5+4x+x²)

Mariusz: Nasza funkcja GCD zwróciła poprawny wynik tyle że nie "normalizuje" wielomianu Pamiętasz co ci pisałem o dzieleniu przez współczynnik wiodący ? trochę dziwi mnie to co otrzymałeś z dzielenia jako Q2(x)

Filip: po obliczeniu, poprawieniu błedów, wyszło mi, że Q₁(x)=+1.000000x⁴+4.000000x³+9.000000x²+16.000000x¹+20.000000x⁰ Q₂(x)=+1.000000x⁴+4.000000x³+9.000000x²+16.000000x¹+20.000000x⁰ Więc naszą całkę zapiszemy tak:

	x5−x4−26x2−24x+25
∫		=
	(x2+4)2(x2+4x+5)2

	A0x3+A1x2+A2x+A3
=		+
	x4+4x3+9x2+16x+20

	B0x3+B1x2+B2x+B3
+∫		dx
	x4+4x3+9x2+16x+20

Mariusz: Tak to będzie poprawny zapis tej całki

Filip: Tak na marginesie, nie dało się tej "normalizacji" wrzucić do funkcji GCD()?

Filip: A no i czy kontynuujemy ten wątek z listą, bo ja mogę zacząć pisać brakujące funkcje

Mariusz: Ja u siebie wrzuciłem , wystarczy dopisać jedną pętle Tak ale w tamtym wątku bo dobrze byłoby w tym wątku zostać przy całkach Ja tutaj ci przypomniałem że możesz tutaj użyć programów które pisaliśmy (do wielomianów i układów równań) do sprawdzenia swoich obliczeń

Filip: Kończąc całkę: x⁵−x⁴−26x²−24x+25= (3A₀x²+2A₁x+A₂)(x⁴+4x³+9x²+16x+20)− (A₀x³+A₁x²+A₂x+A₃)(4x³+12x²+18x+16)+ (B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃)(x⁴+4x³+9x²+16x+20) x⁵−x⁴−26x²−24x+25= −A₀x⁶−2A₁x⁵+9A₀x⁴−4A₁x⁴−3A₂x⁴+32A₀x³−8A₂x³−4A₃x³+60A₀x²+ 16A₁x²−9A₂x²−12A₃x²+40A₁x−18A₃x+20A₂−16A₃+ B₀x⁷+4B₀x⁶+B₁x⁶+9B₀x⁵+4B₁x⁵+B₂x⁵+16B₀x⁴+9B₁x⁴ + 4B₂x⁴+B₃x⁴+20B₀x³+16B₁x³+9B₂x³+4B₃x³+20B₁x²+16B₂x²+9B₃x²+20B₂x+16B₃x+20B₃ Włożyłem go do mojego programu, układ równań, gdzie A₀=x₁ A₁=x₂ A₂=x₃ A₃=x₄ B₁=x₅ B₂=x₆ B₃=x₇ Tutaj input programu −1 0 0 0 1 0 0 0 −2 0 0 4 1 0 9 −4 −3 0 9 4 1 32 0 −8 −4 16 9 4 60 16 −9 −12 20 16 9 0 40 0 −18 0 20 16 0 0 20 −16 0 0 20 0 1 −1 0 −26 −24 25 Output nie wygląda za ciekawie: A₀=−1.022929 A₁=−3.266272 A₂=−4.120562 A₃=−9.526627 B₁=−1.022929 B₂=−1.440828 B₃=−2.250740

Mariusz: A macierz trójkątną tego układu jaką dostałeś ?

Filip: 60.000000 16.000000 −9.000000 −12.000000 20.000000 16.000000 9.000000 0.000000 40.000000 0.000000 −18.000000 0.000000 20.000000 16.000000 0.000000 0.000000 20.000000 −16.000000 0.000000 0.000000 20.000000 0.000000 0.000000 0.000000 −4.000000 5.333333 4.733333 5.813333 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.800000 1.960000 0.372000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 −1.025000 −0.880000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.490708

Filip: Sprawdziłem drugi raz, jednak błędu nadal nie widzę, w zbiorze masz sam wynik podany czy także rozwiązanie?

Mariusz: Mianownikiem rozwiązania układu równań który dostałeś z programu będzie 270400 i się zastanawiam czy nie popełniłeś błędu wymnażając te wielomiany bądź je porównując

Filip: Błąd znaleziony, całkę źle przepisałem Powinno być −25, ja dałem 25 Teraz dostaje takie wyniki A₀: −1.125 Fraction: −9/8 A₁: −3 Fraction: −3/1 A₂: −4.625 Fraction: −37/8 A₃: −10 Fraction: −10/1 B₁: −1.125 Fraction: −9/8 B₂: −0.5 Fraction: −1/2 B₃: −4.625 Fraction: −37/8

Mariusz: No i teraz jest dobrze Zauważ że 9x²+4x+37=8(x²+4)+(x²+4x+5)

Filip: Kończąc:

	1		9x3+24x2+37x+80		9x2+4x+37
...=−		(		+∫		dx)
	8		(x2+4)(x2+4x+5)		(x2+4)(x2+4x+5)

	9x2+4x+37		dx		dx
∫		dx=8∫		+∫		=
	(x2+4)(x2+4x+5)		(x+2)2+1		x2+4

	1		x
=8arctg(x+2)+		arctg(		)+C
	2		2

	1		9x3+24x2+37x+80		1		x
...=−		(		+8arctg(x+2)+		arctg(		))+C
	8		(x2+4)(x2+4x+5)		2		2

No właśnie, jakbyś nie napisał tego "rozbicia" to bym pewnie tego nie zauważył, w takim razie jak inaczej bym musiał liczyć tę pozostałą całkę?

Mariusz: Jeśli byś nie zauważył tego rozbicia to musiałbyś rozkładać na sumę ułamków prostych

Filip: Dla całki

	3x4+4
∫		dx, wyszło mi
	x2(x2+1)3

Q₁(x)=x⁵+2x³+x=x(x²+1)² Q₂(x)=x³+x=x(x²+1) Więc mogę całkę zapisać jako:

	A0x4+A1x3+A2x2+A3x+A4		B0x2+B1x+B0
...=		+∫
	x(x2+1)2		x(x2+1)

Filip:

3x4+4
	=
x2(x2+1)3

	(4A0x3+3A1x2+2A2x+A3)x(x2+1)2
=		−
	x2(x2+1)4

((x2+1)2+4x2(x2+1))(A0x4+A1x3+A2x2+A3x+A4)
	+
x2(x2+1)4

	(B0x2+B1x+B2)x(x2+1)2
+
	x2(x2+1)3

3x⁴+4=−A₀x⁶−2A₁x⁵+3A₀x⁴−3A₂x⁴+2A₁x³−4A₃x³+A₂x²−5A₄x²−A₄+ +B₀x⁷+B₁x⁶+2B₀x⁵+B₂x⁵+2B₁x⁴+B₀x³+2B₂x³+B₁x²+B₂ x I z tego otrzymałem nastepujące wyniki A₀: 7.125 Fraction: −57/8 A₁: 0 Fraction: −0/1 A₂: 12.875 Fraction: −103/8 A₃: 0 Fraction: −0/1 A₄: 4 Fraction: −4/1 B₁: 7.125 Fraction: −57/8 B₂: −0 Fraction: −0/1 B₀=0 Więc całkę mogę zapisać jako:

	1		57x4+103x2+32		x
...=−		(		+57∫		dx)=
	8		x2(x2+1)2		x(x2+1)

	1		57x4+103x2+32
=−		(		+57arctgx)+C
	8		x2(x2+1)2

Mariusz: No i wynik wyszedł poprawny

Filip: Dla całki:

	5−3x+6x2+5x3−x4
∫		dx
	x5−x4−2x3+2x2+x−1

wyszło mi, że możemy to zapisać jako:

	A0x2+A1x+A2		B0x+B1
...=		+∫		dx
	x3−x2−x+1		x2−1

Filip: Wygląda ok, bo: x⁵−x⁴−2x³+2x²+x−1=(x−1)³(x+1)² x³−x²−x+1=(x−1)²(x+1) x²−1=(x−1)(x+1) (x³−x²−x+1)(x²−1)=(x−1)³(x+1)²=x⁵−x⁴−2x³+2x²+x−1

Mariusz: We wpisie z 18 sty 2021 13:39 zrobiłeś błąd przy przepisywaniu no ale przyjąłem że to literówka bo wcześniej mianowniki zapisałeś poprawnie Tak całkę z 18 sty 2021 16:22 zapisałeś poprawnie

Filip: cd.

5−3x+6x2+5x3−x4
	=
(x−1)3(x+1)2

	(2A0x+A1)(x−1)(x+1)−(A0x2+A1x+A2)(3x+1)
=		+
	(x−1)3(x+1)2

	(B0x+B1)(x−1)2(x+1)
+
	(x−1)3(x+1)2

5−3x+6x²+5x³−x⁴=−A₀x³−A₀x²−2A₁x²−2A₀x−A₁x−3A₂x−A₁−A₂+ +B₀x⁴−B₀x³+B₁x³−B₀x²−B₁x²+B₀x−B₁x+B₁

	5−3x+6x2+5x3−x4		1	2x2+7x−3		x−3
∫		dx=−			−∫		dx
	(x−1)3(x+1)2		2	x3−x2−x+1		x2−1

	x−3		x−1		1
∫		dx=∫		dx−2∫		dx=ln|x+1|−ln|x−1|+ln|x+
	x2−1		(x−1)(x+1)		x2−1

1|=2ln|x+1|−ln|x−1|+C

	5−3x+6x2+5x3−x4
∫		dx=
	(x−1)3(x+1)2

	1	2x2+7x−3
=−			−2ln|x+1|+ln|x−1|+C
	2	x3−x2−x+1

Mariusz: Zdaje się że dobrze policzyłeś Całki na metodę Ostrogradskiego powoli już się kończą Wygeneruje ci plik który pozwoli ci łatwo sprawdzić jakie podstawienie Eulera lepiej wybrać

Mariusz: Pierwsze i trzecie podstawienie Eulera https://prnt.sc/wae3ip Drugie podstawienie Eulera https://prnt.sc/x5pq9b

Filip: No dobra to coś od jutra postaram się porobić z tego, bo jest to dla mnie nowe − w sensie miałem to na wykładzie, jednak nie korzystałem z tego nigdy w zadaniach