całki nieoznaczone krzysiek007:

	1
∫		dx
	(3x2+1)2

	x+5
∫		dx
	4x2+x+7

jak obliczyć te całki?

Mariusz: 1 Wzór redukcyjny bądź metoda Ostrogradskiego 2. Rozbij na sumę dwóch całek w jednej podstawienie za trójmian kwadratowy w mianowniku a w drugiej sprowadzasz trójmian kwadratowy w mianowniku do postaci kanonicznej

Mariusz: Jeśli chodzi o metodę Ostrogradskiego to będzie ona wyglądała tak

	1		A1x+A0		B1x+B0
∫		dx=		+∫		dx
	(3x2+1)2		3x2+1		3x2+1

1		A1(3x2+1)−(A1x+A0)6x		B1x+B0
	=		+
(3x2+1)2		(3x2+1)2		3x2+1

1=A₁(3x²+1)−(6A₁x²+6A₀x)+(B₁x+B₀)(3x²+1) 1=A₁(3x²+1)−(6A₁x²+6A₀x)+(3B₁x³+B₁x)+(3B₀x²+B₀) 1=3B₁x³+(3B₀−3A₁)x²+(B₁−6a₀)x+B₀+A₁ 3B₁=0 3B₀−3A₁=0 B₁−6A₀=0 B₀+A₁=1 B₁=0 B₀=A₁ A₀=0 2A₁=1

	1		1	x		1		1
∫		dx=			+		∫		dx
	(3x2+1)2		2	3x2+1		2		1+3x2

	1		1	x		√3		√3
∫		dx=			+		∫		dx
	(3x2+1)2		2	3x2+1		6		1+(√3x)2

	1		1	x		√3
∫		dx=			+		arctg(√3x)+C
	(3x2+1)2		2	3x2+1		6

Filip: Cześć Mariusz, czy można użyć metody Ostrogradskiego, jeśli w mianowniku nie mamy całej funkcji pod pierwiastkiem? Pozdrawiam

Mariusz: Można tylko wtedy inaczej przewidujesz postać funkcji pierwotnej

	P(x)		P1(x)		P2(x)
∫		=		+∫		dx
	Q(x)		Q1(x)		Q2(x)

Mianownik Q₂(x) posiada te same pierwiastki co Q(x) tyle że pojedyncze Q(x)=Q₁(x)Q₂(x) i stąd możesz obliczyć Q₁(x) Stopnie liczników są mniejsze niż stopnie odpowiadających im mianowników Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujesz współczynniki literowe i różniczkujesz równość stronami

	P(x)		P1(x)		P2(x)
∫		=		+∫		dx
	Q(x)		Q1(x)		Q2(x)

aby je obliczyć Jeśli chodzi o założenia metody Ostrogradskiego dla całkowania funkcji wymiernych to 1. Stopień licznika P(x) jest mniejszy od stopnia mianownika Q(x) 2. Mianownik Q(x) posiada pierwiastki wielokrotne (rzeczywiste bądź zespolone) Najwięcej korzyści osiągniemy gdy mianownik posiada zespolone pierwiastki wielokrotne bądź nie mamy podanego rozkładu mianownika na czynniki