alg mydlix: Przedstaw, jeśli to możliwe, liczbę 2015 w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Jeśli to niemożliwe, wykaż dlaczego.

chichi: https://matematykaszkolna.pl/forum/406324.html

chichi: Tam @Mila krok po kroku Tobie wytłumaczyla jak podjeść do tego zadania, spróbuj teraz sam

mydlix: OK, ale tutaj właśnie się nie da

Mila: 2015=5*13*31= (4*1+1)*(4*3+1)*(4*7+3)¹ Tej liczby nie można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych , ponieważ w rozkładzie na czynniki pierwsze liczba pierwsza postaci (4k+3) występuje w nieparzystej potędze. Twierdzenie: Liczbę n∊N możemy przedstawić w w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze wszystkie podstawy pierwsze postaci (4k+3) występują w potęgach parzystych. (warunek konieczny i wystarczający)

kerajs: Reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez 4 może wynosić 0 lub 1. Suma dwóch kwadratów w dzieleniu przez 4 może dać resztę 0,1 lub 2. Dlatego liczb o postaci 4k+3 nie można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów. Nie oznacza to wcale, iż liczbę o innej postaci zawsze można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów. Np: liczby 2021=4*505+1 nie można tak rozpisać. (Ktoś wie, dlaczego nie można?)

Mila: 2021=43*47=(4*10+3)¹*(4*11+3)¹− żadna z liczb pierwszych postaci 4k+3 nie jest w potędze parzystej.

Mila: 1805=5*19²=5*361 [ 19=4*4+3 ] jest w parzystej potędze. 5*361=(2²+1²)*(19²+0²)= =(2*19+0)²+(1**0−1*19)²=38²+19² Dowód twierdzenia 15:21 jest np. w "Teorii liczb " W.Sierpińskiego.

Mila: Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów lub twierdzenie Girarda – Każda liczba pierwsza dająca resztę 1 w dzieleniu przez 4 jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. lub w notacji algebraicznej: Jeżeli p = 4 k + 1 i p jest liczbą pierwszą , to p = a ² + b 2 ,gdzie a , b są pewnymi liczbami całkowitymi.

jc: 2015 = 2012 + 3 = 4k+3 2015 = (2a+1)² + (2b)² = 4(a²+a+b²) + 1 sprzeczność

Adamm: Hmm. Nie wiedziałem że się Milu tak dobrze znasz na teorii liczb