indukcja indukcja: Znaleźć i udowodnić (korzystając z zasady indukcji matematycznej) wzór na sumę sześcianów n pierwszych liczb naturalnych, tzn. na sumę 1³ + 2³ + ... + n³.

Struś pędziwiatr: https://matematykaszkolna.pl/forum/406287.html

Filip: Nie wiem jak znalezc ten wzoru(poza internetem) wiec tylko udowodnie:

	n(n+1)
03+13+...+n3=(		)2
	2

L=∑_i=0ⁿi³ 1)Podstawa indukcyjna P(0)

	0(0+1)
∑i=000=(		)2 ⇔ 0=0 ⇔ L=P
	2

2)Krok indukcyjny P(n−1)=>P(n)

	(n−1)2(n−1+1)2+4n3		n4+2n3+1		n(n+1)
∑i=0ni3=∑i=0n−1i3+n3=		=		=(		)2
	4		4		2

⇔L=P Prawdziwa jest podstawa indukcyjna oraz krok indukcyjny a wiec prawdziwa jest cala wlasnosc

indukcja: Właśnie zrobiłam podobnie, tylko zastanawia mnie ten krok indukcyjny. W rozwiązaniu wnioskujemy, że P(n−1) => P(n). Nam kazali zawsze dowodzić, że P(n) => P(n+1). Zdaje sobie sprawę, że jest to dokładnie to samo i nie ma to żadnego znaczenia, ale jednak wolałabym obliczenia zgodnie z tym, co wymaga prowadzący. Tymczasem jak podstawiam do wzoru to n+1 to wychodzą jakieś cuda niewidy. Ktoś jest w stanie pomóc?

Filip:

	(n+1)2(n+2)2−4(n+1)3		(n+1)2(n2+4n+4−4n−4)
∑i=0n+1i3−(n+1)3=		=		=
	4		4

(n+1)2n2
4

indukcja: Aaaahaaaaa, już rozumiem. Dzięki wielkie!

indukcja: Dobra, chyba jednak nie. Jakim cudem z 4(n+1)³ zrobiło się −4n−4?

Filip: (n+1)² w liczniku wyciagnalem przed nawias: (n+1)²(n+2)²−4(n+1)³=(n+1)²((n+2)²−4(n+1))

Struś pędziwiatr: Twierdzenie : Jesli T(n) jest twierdzeniem o liczbach naturalnych takim ze : 1^o T(n₀) jest prawdziwe 2^o ⋀ k≥1(T(k)⇒T(k−1)) to T(n) jest prawdziwe dla kazdej liczby naturalnej 0≤ n ≤ n₀

Filip: No wlasnie i tutaj pytanie... Jaki zapis jest poprawny w 2^o czy T(k)=>T(k−1) czy T(k−1)=>T(k), czy to bez znaczenia? W notatkach mam ten drugi

indukcja: No tak, dziękuję!

indukcja: W moich notatkach jest T(n) => T(n+1), więc domyślam się, że przez analogię poprawny jest T(n−1) => T(n).

Struś pędziwiatr: W ksiazce Eugeniusz Niczyporowicz , Nadzieja Borowikowa Indukcja zupelna w zadaniach jest ten zapis ktory podalem

Filip: No wlasnie... ja na prezentacji z przedmiotu podstawy informatyki mam T(n−1)=>T(n)

Struś pędziwiatr: W tym przykladzie nalezy zastosowac twierdzenie Jezeli T(n) jest twierdzeniem o liczbach naturalnych takim ze : 1^o T(n₀) jest prawdziwe 2^o Dla kazdej liczby naturalnej k≥n₀ prawdziwa jest inplikacja (T(k)⇒T(k+1) , to twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla kazdej liczby naturalnej n≥n₀

Filip: Wiesz co, z indukcji matematycznej mialem tylko jeden slajd i wygladal on tak (czarny tekst na bialym tle) Zasada indukcji matematycznej mowi, ze P(n) wynika z tego, ze: (1) P(0) jest prawdziwe (2) P(n−1) implikuje P(n) dla n>=1 Warunek (1) w dowodzie indukcyjnym zwany jest podstawa, a warunek (2) − krokiem indukcyjnym

Struś pędziwiatr: Skoro Cie tak uczyli . Jesli jednak bedziesz mial mozliwosc dostania tej ksiazeczki to zachecam do zapoznania sie z nia . Sa tam tez podane inne twierdzenia jesli twierdzenie z 18 : 46 nie wystarcza