calka Filip: Witam, jak zrobic taka calke?

	x5
∫		dx
	√1 − x2

jc: całka = ∫[(1−x²)^−1/2 − 2(1−x²)^1/2 + (1−x²)^3/2] xdx

	2		1
= −(1−x2)1/2 +		(1−x2)3/2 −		(1−x2)5/2
	3		5

Szkolniak: Ja bym zrobił tak − proszę o potwierdzenie. t=√1−x² t²=1−x² ⇒ 2tdt=−2xdx ⇔ xdx=−tdt x²=1−t² ⇒ x⁴=(t²−1)²

	x5		x4		(t2−1)2
∫		dx=∫		*xdx=∫		*(−t)dt=
	√1−x2		√1−x2		t

=−∫(t⁴−2t²+1)dt=... Jest ok?

Filip: yyy...

jc: Tak

Mila: [x=sin(t), d(x)=cost dt] ∫sin⁵(t) dt= ... działaj, jesli już czytałeś o wzorach ∫sinⁿx dx

Filip:

	8 + 4x2 + 3x4
To mozliwe ze wyjdzie to samo? w odpowiedziach mam wynik −		√1 − x2
	15

jc:

	2		1
−(1−x2)1/2 +		(1−x2)3/2 −		(1−x2)5/2
	3		5

	2		1
=(1−x2)1/2(−1+		(1−x2)−		(1−x2)2)
	3		5

Uporządkuj wyrażenie w nawiasie i pewnie wyjdzie to samo.

Mila:

	x5
∫		dx=...
	√1−x2

1) [x=sin(t), d(x)=cost dt] =∫sin⁵(t) dt= ... c.d ∫sin⁵(t) dt=∫sin⁴t *sint dt= ∫(1−cos²t)²*sint dt=.. 2) [cost=u , −sint dt=du ] ..=−∫(1−u²)²du=

	2		1
=−∫(1−2u2+u4) du=−(u−		u3+		u5)=
	3		5

	2		1
=−(cost−		cos3t +		cos5 t)=
	3		5

	2		1
=−cost*(1−		cos2t +		cos4t)= cost=√1−sin2t=√1−x2
	3		5

	15−10(1−x2)+3(1−x2)2
=−√1−x2*		=
	15

	−√1−x2
=		*(8+4x2+3x4) +C
	15

Filip: Dzieki Mila, nie mialem jeszcze wzoru ∫sinⁿx dx i raczej nie zapowiada sie bym mial

Mariusz: Możesz go sobie wyprowadzić całkując przez części a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej ∫sinⁿxdx=∫sinxsinⁿ⁻¹xdx u=sinⁿ⁻¹x dv = sinx dx du = (n−1)sinⁿ⁻²xcosx v = −cosx ∫sinⁿxdx = −cosxsinⁿ⁻¹x − (n−1)∫(−cosx)sinⁿ⁻²xcosx ∫sinⁿxdx = −cosxsinⁿ⁻¹x +(n−1)∫sinⁿ⁻²xcos²xdx ∫sinⁿxdx = −cosxsinⁿ⁻¹x +(n−1)∫sinⁿ⁻²x(1−sin²x)dx ∫sinⁿxdx = −cosxsinⁿ⁻¹x +(n−1)∫sinⁿ⁻²x−(n−1)∫sinⁿxdx n∫sinⁿxdx = −cosxsinⁿ⁻¹x +(n−1)∫sinⁿ⁻²xdx

	1		n−1
∫sinnxdx = −		cosxsinn−1x+		∫sinn−2xdx
	n		n

Mila: 22:26 masz rozwiązane bez rekurencji

Damian#UDM:

	x5
∫		dx
	√1 − x2

√1 − x² = (x + 1)t / ² (1 − x )(x + 1) = (x+1)²t²

	1 − x
1 − x = (x + 1)t → t =
	1 + x

	1 − t		2
x =		=		− 1
	1 + t		1 + t

	2
x + 1 =
	t + 1

	−2dt
dx =
	(1 + t)2

	2t
√1 − x2 =
	t + 1

	x5		(t − 1)5		t5−5t4+10t3−10t2+5t−1
∫		dx =		dt =∫		dt=m
	√1 − x2		(t + 1)6		(t+1)6

t5−5t4+10t3−10t2+5t−1		A		B		C
	=		+		+		+
(t+1)6		t+1		(t+1)2		(t+1)3

	D		E		F
		+		+		=
	(t+1)4		(t+1)5		(t+1)6

	At5+(5A+B)t4+(10A+4B+C)t3+(10A+6B+3C+D)t2+(5A+4B+3C+2D+E)t+A+B+C+D+E+F
=		=
	(t+1)6

	⎧	A=1
	⎜	B=−10
	⎜	C=40
=	⎨	D=−80
	⎜	E=80
	⎩	F=−32

	dt		dt		dt		dt		dt
m = ∫		−10∫		+40∫		−80∫		+ 80∫
	t+1		(t+1)2		(t+1)3		(t+1)4		(t+1)5

	dt
−32∫		=
	(t+1)6

	10		20		80		20		32
= ln|t+1| +		−		+		−		+		+
	t+1		(t+1)2		3(t+1)3		(t+1)4		5(t+1)5

C =

	2		10		20		80
= ln|		| +		−		+		−
	x+1		2   x+1		2   ( )2   x+1		2   3( )3   x+1

	20		32
		+		+ C
	2   ( )4   x+1		2   5( )5   x+1

Uff... udało się Mam nadzieję, że dobrze

Damian#UDM: Ooo tak, błąd na początku, o tym marzyłem przy tak długim liczeniu trzecie równanie od góry, nagle z t² zrobiło się t

Damian#UDM: A było tak ładnie

Filip: Dlaczego takie podstawienie, jak do tego doszedles?

ICSP: jest genialny

Mariusz: Tutaj wystarczyło podstawienie za pierwiastek ale Damian chciał pewnie przećwiczyć podstawienie Eulera

Mariusz:

	x5
∫		dx
	√1−x2

√1−x²=(1+x)t 1−x²=(1+x)t (1−x)(1+x)=(1+x)²t² 1−x=(1+x)t² 1−x=t²+xt² 1−t²=x+xt² x(1+t²)=1−t²

	1−t2
x=
	1+t2

	−1−t2+2
x=
	1+t2

	2
x=−1+
	1+t2

	2t
√1−t2=
	1+t2

	2t
dx=−2		dt
	(1+t2)2

	4t
dx=−		dt
	(1+t2)2

	(1−t2)5	1+t2	−4t
∫
	(1+t2)5	2t	(1+t2)2

	(1−t2)5
−2∫		dt
	(1+t2)6

Teraz lepszym pomysłem niż rozkład na sumę ułamków prostych jest wzór skróconego mnożenia

	(1−t2)5
−2∫		dt
	(1+t2)6

1−t²=2−(1+t²)

	(2−(1+t2))5
−2∫		dt=
	(1+t2)6

	32−80(1+t2)+80(1+t2)2−40(1+t2)3+10(1+t2)4−(1+t2)5
−2∫
	(1+t2)6

	32		80		80		40
−2(∫		dt−∫		dt+∫		dt−∫		dt
	(1+t2)6		(1+t2)5		(1+t2)4		(1+t2)3

	10		1
+∫		dt−∫		dt)
	(1+t2)2		1+t2

No i teraz wzór redukcyjny

	1		1+x2−x2
∫		dx=∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n

	1		1		x2
∫		dx=∫		dx−∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		(1+x2)n

	1		1		x
∫		dx=∫		dx−∫x*		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		(1+x2)n

	x
∫		dx
	(1+x2)n

1+x²=t 2xdx=dt

	1
xdx=		dt
	2

1		1
	∫		dt=
2		tn

1	t−n+1
2	−n+1

	x		1	1
∫		dx=−
	(1+x2)n		2n−2	(1+x2)n−1

	1		1		x
∫		dx=∫		dx−∫x*		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		(1+x2)n

	1		1		1	x
∫		dx=∫		dx−(−
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		2n−2	(1+x2)n−1

	1		1
+		∫		dx)
	2n−2		(1+x2)n−1

	1		1		1	x
∫		dx=∫		dx+
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		2n−2	(1+x2)n−1

	1		1
−		∫		dx
	2n−2		(1+x2)n−1

	1		1	x		2n−3		1
∫		dx=			+		∫		dx
	(1+x2)n		2n−2	(1+x2)n−1		2n−2		(1+x2)n−1

Damian#UDM: Mariusz dokładnie o to mi chodziło Widziałem takie podstawienie przy rozwiązaniach całek typu

1
(x+2)√4 − x2

I próbowałem w taki sposób to ogarnąć, ale jak widać nie udało mi się Mariusz co Twoje rozwiązanie widzę to jestem w szoku Pomysł ze wzorem super, tylko pewnie musiałbym poćwiczyć jeszcze trochę Dziękuję za rozwiązanie!

kerajs: @ Damian#UDM Replay:

	dx		1		−dt
∫		= [		=x+2] = ∫
	(x+2)√(4 − x2)		t		√(4t − 1)

Mariusz:

	1
∫		dx
	(x+2)√4−x2

√4−x²=(x+2)t 4−x²=(x+2)²t² (2−x)(2+x)=(x+2)²t² 2−x=(x+2)t² 2−x=xt²+2t² 2−2t²=x+xt² x(1+t²)=2−2t²

	2−2t2
x=
	1+t2

	−2−2t2+4
x=
	1+t2

	4
x=−2+
	1+t2

	2−2t2+2+2t2
x+2=
	1+t2

	4
x+2=
	1+t2

	−8t
dx=		dt
	(1+t2)2

	4t
√4−x2=
	1+t2

	1+t2	1+t2	(−8t)
∫				dt
	4t	4	(1+t2)2

	1
=−		∫dt
	2

	1
=−		t+C
	2

	1	√4−x2
=−			+C
	2	2+x

Mariusz: Damian dam ci do policzenia całkę którą dostałem z pewnego równania różniczkowego Spróbuj sam ją policzyć

	1
∫		dx
	x2(4x2−3)2√x2−1

Damian#UDM: Mariusz właśnie próbowałem tak samo jak Ty o 18:45, lecz niestety widzę, że przy tych całkach jest dużo obliczeń i często zdarza mi się zrobić głupi błąd. Lecz nie poddaje się i cisnę dalej Spróbuję tę całkę ogarnąć z 19:02

Damian#UDM: Raczej słabo mi to poszło Ale mam tak: √x² − 1 = (x + 1)t

	t2 + 1
x =
	1 − t2

	4tdt
dx =
	(1 − t2)2

	(t4 + 14t2 + 1)2
(4x2 − 3)2 =
	(1 − t2)4

	dx		2(1 − t2)5dt
∫		= ∫
	x2(4x2 − 3)2√x2 − 1		(t2 + 1)2(t4 + 14t2 + 1)2

Przypuszczam, że gdzieś może być błąd, lecz niestety nie widzę go. Więc na razie dalej nie liczę, proszę kogoś o sprawdzenie, bo znowu się naliczę niepotrzebnie jak ostatnio

Damian#UDM: W sumie sprawdziłem drugi raz i obliczenia są bardzo sensowne, lecz dalsze rozbijanie tej całki na ułamki proste jest bezsensowne Szukałem jakiegoś podstawienia, żeby z t⁴ zrobić u², lecz niestety nie udało mi się.

Mariusz: No tak taką całkę byś otrzymał Jeśli chcesz kontynuować to proponowałbym wzór Ostrogradskiego

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) posiada te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze M(x)=M₁(x)M₂(x) stopień L₁(x) < stopień M₁(x) stopień L₂(x) < stopień M₂(x) Aby obliczyć L₁(x) oraz L₂(x) to za współczynniki tego wielomianu bierzesz współczynniki literowe i różniczkujesz obustronnie równość

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Tutaj jednak wygodniejsze byłoby to pierwsze podstawienie Eulera (to ze współczynnikiem wiodącym trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem)

Mariusz: Do całki którą otrzymałeś czyli do

	2(1−t2)5
∫		dt
	(t2+1)2(t4+14t2+1)2

	1−t
mógłbyś zastosować podstawienie u=
	1+t

a całka by ci się uprościła o ile coś zauważysz

kerajs:

	dx		1		−t5dt
∫		= [		=x] = ∫		=
	x2(4x2−3)√x2−1		t		(4−3t2)2√1−t2

	(1−p2)2dp
= [p2=1−t2] = ∫
	(1+3p2)2

Mariusz: 1 No fajnie tylko że masz ułamek pod pierwiastkiem którego oryginalnie nie było Poza tym aby dokończyć musiałby jeszcze zastosować wzór skróconego mnożenia bądź dzielenie i rozkład na sumę ułamków prostych a następnie wzór redukcyjny Po podstawieniu Eulera natomiast wystarczy coś zauważyć i dostaniemy całkę łatwą do policzenia w pamięci Tutaj Damian wybrał akurat takie podstawienie które dało mu całkę która wymaga więcej obliczeń

	1−t
ale da się to naprawić stosując kolejne podstawienie u=
	1+t

2 Nie znasz się na metodyce nauczania , chciałem aby przećwiczył podstawienia Eulera choć może powinienem najpierw sprawdzić jak sobie radzi z całkowaniem funkcyj wymiernych

daras: dajcie spokój, Filip jeszcze nie miał tych wzorów

Filip: No i (moze na moje szczescie) juz nie bede ich mial

Damian#UDM: Filip ja sam się uczę, żeby innych uczyć i powoli to idzie do przodu

	1 − t
Mariusz próbowałem z Twoim podstawieniem coś podziałać u =
	1 + t

lecz niestety nic konkretnego nie otrzymałem, nic mi to nie ułatwiło, więc pewnie zrobiłem to źle. Z całkowaniem funkcji wymiernych chyba nie ma większego problemu, lecz jak najbardziej Mariusz możesz zarzucić tutaj jakiś przykład, a ja spróbuję go sam ogarnąć

kerajs: Ad 1 a) No fajnie tylko że masz ułamek pod pierwiastkiem którego oryginalnie nie było I w czym problem? b) Poza tym aby dokończyć musiałby jeszcze zastosować wzór skróconego mnożenia bądź dzielenie i rozkład na sumę ułamków prostych a następnie wzór redukcyjny I w czym problem? c) Po podstawieniu Eulera natomiast wystarczy coś zauważyć i dostaniemy całkę łatwą do policzenia w pamięci Tutaj Damian wybrał akurat takie podstawienie które dało mu całkę która wymaga więcej obliczeń

	1−t
ale da się to naprawić stosując kolejne podstawienie u=
	1+t

Nie zauważył oraz nie wymyśli podanego podstawienia, gdyż nie wynika ono z postaci otrzymanej całki. Ad 2 d) Nie znasz się na metodyce nauczania , Super argument. Ubawił mnie setnie. e) chciałem aby przećwiczył podstawienia Eulera W odróżnieniu od forumowej grupy jasnowidzów, ja takich zdolności nie posiadam. Poza tym, dlaczego pokazanie innej metody rozwiązania tych całek (23 XII 19:04 i 24 XII 19:02 ) ma w tym przeszkadzać?

Damian#UDM: Wesołych świąt kochani! Dziękuję wszystkim za pomoc Jesteście bardzo dobrymi ludźmi, z tego względu iż pomagacie bezinteresownie innym, to jest piękne!

Mariusz: Ad 1 a) "I w czym problem?" Może być problem np w uproszczeniu wyniku Ad 1 b) W tym że jeszcze sporo zostało do dokończenia a po podstawieniu Eulera można w pamięci policzyć tylko trzeba użyć innego podstawienia Eulera niż Damian użył Ad 2 d) "Super argument. Ubawił mnie setnie. " Ale prawdziwy Nie znasz się na nauczaniu i przeszkadzasz w tym co chciałem Damianowi przekazać / Co chciałem z nim przećwiczyć Damian jeżeli chcesz poćwiczyć to napisz jak się z tobą skontaktować poza forum bo tutaj kerajsy przeszkadzają

Mariusz: Co do podstawienia zaproponowanego przeze mnie to jak masz całkę

	2(1−t2)5
∫		dt
	(t2+1)2(t4+14t2+1)2

	1−t
u=
	1+t

	−1−t+2
u=
	1+t

	2
u=−1+
	1+t

	2
u+1=
	1+t

u+1		1
	=
2		t+1

	2
t+1=
	u+1

	2
t=−1+
	u+1

	1−u
t=
	1+u

	2
dt=−		du
	(u+1)2

Bez texa to tutaj kiepsko się pisze Licznik

	(1−u)2		(1+u)2−(1−u)2
(1−		)5=(		)5
	(1+u)2		(1+u)2

	(1+u+1−u)((1+u)−(1−u))
(		)5
	(1+u)2

1024u5
(1+u)10

Mianownik

	(1−u)2		(1−u)4		(1−u)2
(		+1)2(		+14		+1)2
	(1+u)2		(1+u)4		(1+u)2

	(1−u)2+(1+u)2		((1−u)4+14(1−u)2(1+u)2+(1+u)4)2
(		)2(		)2
	(1+u)2		(1+u)4

4(1+u2)2	(1−4u+6u2−4u3+u4+14(1−u2)2+1+4u+6u2+4u3+u4)2
(1+u)4	(1+u)8

4(1+u2)2	(2+12u2+2u4+14−28u2+14u4)2
(1+u)4	(1+u)8

4(1+u2)2	(16−16u2+16u4)2
(1+u)4	(1+u)8

1024(1+u2)2(1−u2+u4)2
(1+u)12

Pochodna

dt		2
	=−
du		(1+u)2

Po wstawieniu do całki otrzymujesz

	1024u5	(1+u)12		2
2∫			(−		)du
	(1+u)10	1024((1+u2)2(1−u2+u4)2)		(1+u)2

	u5
=−4∫		du
	(1+u2)2(1−u2+u4)2

Teraz widzisz co się dzieje w mianowniku Mniej więcej taką całkę byś dostał gdybyś użył tego drugiego dostępnego podstawienia Eulera " zarzucić tutaj jakiś przykład, a ja spróbuję go sam ogarnąć " Nie wiem czy to tutaj ma sens skoro kerajsy się wtrącają do tematów w których piszemy

kerajs: Ad 1 a) ''Może być problem np w uproszczeniu wyniku'' To konkretny przykład, więc nie rób uników, tylko wyjaśnij dlaczego ułamek pod pierwiastkiem jest tu problemem. Ad 1 b) ''W tym że jeszcze sporo zostało do dokończenia'' Nigdzie nie twierdziłem że to koniec obliczeń. Jednak są one stadardowe i raczej łatwiejsze niż to co powyżej napisałeś. Ad 1 b)(cd) ''a po podstawieniu Eulera można w pamięci policzyć tylko trzeba użyć innego podstawienia Eulera niż Damian użył '' Ale on tego zauważył oraz nie użył innego z podstawień Eulera. A dlaczego tego nie zrobił? Bo może ktoś nie pokazał mu innych metod? Albo zasugerował tę, jako jedyną słuszną? Ad 2 d) ''Ale prawdziwy Nie znasz się na nauczaniu'' A skądże to przekonanie. Wskaż, proszę, choć trzy tematy które potwierdzą tę (hipo)tezę. Ad 2 d)cd '' i przeszkadzasz w tym co chciałem Damianowi przekazać / Co chciałem z nim przećwiczyć'' Pytałem o to już wcześniej, lecz nie odpowiedziałeś. Wytłumacz, dlaczego pokazanie innej drogi rozwiązywania dwóch całek w tym przeszkadza? 3) ''kerajsy przeszkadzają'' Inwazja kerajsów. Tak, to przerażające.

Damian#UDM: Mariusz możesz napisać tutaj do mnie: szary002@wp.pl A tam podam Tobie dalszy kontakt Nikt mi żadnych podstawień nie pokazywał Nauczyłem się i uczę wszystkiego sam oraz z waszą pomocą tutaj Na internecie znalazłem plik, gdzie były takie podstawienia, słyszałem o podstawieniach Eulera, lecz nie wiedziałem co to jest, ale wczoraj się dowiedziałem dokładniej Na razie myślę, że zajmę się ćwiczeniem tych właśnie podstawień A później może całki dwumienne i podstawienia rekurencyjne bo to już wgl jest czarna magia

Damian#UDM: Dziękuję wam za pomoc! Wesołych świąt wszystkim

kerajs: @Damian#UDM Piszę, skoro Mariusz nie zdążył jeszcze wykazać, iż nie umiem uczyć: Zamiast wybiórczo uczyć się z przypadkowych list oraz opinii forumowiczów, otwórz podręcznik z całkami i przejrzyj jakie są najczęściej używane metody. Ponadto będą one uporządkowane rodzajami i o wzrastającej trudności. W większości książek będą rozwiązane przykłady i także kilka całek do samodzielnego rozwiązania. Starsze podręczniki bez problemu namierzysz w wersji cyfrowej i za darmo pobierzesz. Choćby ''Analizę matematyczną w zadaniach'' Krysickiego, Włodarskiego.

Damian#UDM: Okej, dziękuję kerajs za cenne uwagi i rady Mam gdzieś zapisane podręczniki znalezione w internecie, więc czas je otworzyć na dłużej

Mariusz: Skoro się wtrącasz do tego co z nim piszę to tutaj nie ma sensu pisać Po wtóre gdy próbowałem tutaj sprawdzić jak sobie radzi z całkowaniem funkcji wymiernych to zaspamowali temat Damian sprawdzałeś tę pocztę co mi podałeś ? ''Analizę matematyczną w zadaniach'' Krysickiego, Włodarskiego. To nie jest podręcznik tylko zbiór zadań

kerajs: Co za androny wypisujesz, MariuszuM ? Ani nie wtrącam się do waszych wymian postów, bo tych po prostu nie ma (ich brak powyżej każdy stwierdzi), ani nie brałem udziału w ''zaspamianiu'' tematu z bardzo pracochłonnymi całkami wymiernymi, ani książka którą zaproponowałem (jako najłatwiejszą do ściągnięcia) nie jest zbiorem zadań. Na potwierdzenie tego trzeciego podam passus z przedmowy: ''Celem niniejszego podręcznika jest nauczenie Czytelnika ...'' oraz wyimek z obwoluty (PWN 2003) : '' Kolejne wydanie dobrze znanego studentom podręcznika...''

Mariusz: To że oni nazwali to coś co napisali podręcznikiem nie znaczy że nim jest To raczej jest zbiór zadań Nie wtrącasz się a to co to jest https://matematykaszkolna.pl/forum/406268.html

kerajs: 1. Z całym szacunkiem, to opinia dwóch ś.p. profesorów nauk matematycznych, autorów tejże książki. Do początków (a większości to wystarcza) nauki całek jak najbardziej się nadaje. Zresztą możesz zaproponować inną pozycję. 2. Link prowadzi do mojego postu sprzed pięciu dni, a o zapędach pedagogicznych i monopolu na konkretnego usera poinformowałeś (choć nie wprost) dopiero przedwczoraj. Więc się nie wtrącałem.

Mariusz: Jako zbiór zadań ta ich książka jest dobra a nawet bardzo dobra jednak jako podręcznik to jest całkiem średnia W przytoczonym temacie podałem dwie książki tylko dlatego że są dostępne legalnie za darmo Jak ma dostęp do biblioteki to może przejrzeć takie książki jak Franciszek Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych albo Grigorij Michaiłowicz Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy To że ktoś dobrze radzi sobie z materiałem z danego przedmiotu nie znaczy że jest dobrym nauczycielem Jakiś czas temu przeglądałem prezentację z której wynikało że Gauß był kiepskim nauczycielem i ogólnie rzecz biorąc nie lubił uczyć

kerajs: Zamiast Gausem mi mydlić oczy przyznaj wreszcie, iż brak Ci argumentów (tj. postów) na poparcie karkołomnych tez o mych nie/zdolnościach pedagogicznych.

Mariusz: Same twoje wpisy wskazują brak twoich zdolności pedagogicznych ". Link prowadzi do mojego postu sprzed pięciu dni, a o zapędach pedagogicznych i monopolu na konkretnego usera poinformowałeś (choć nie wprost) dopiero przedwczoraj. Więc się nie wtrącałem." To był pierwszy raz jak się wtrąciłeś Gdy mu podałem następną całkę do policzenia to znowu się wtrąciłeś A co do Gaußa to nie porównuję cię do niego, ty nigdy nie osiągniesz tego co on Po prostu jest dobrym przykładem że można być dobrym z danego przedmiotu ale mimo tego kiepskim nauczycielem Całki nieoznaczone z Krysickiego policzył już Szemek w swoim pdf Ja tylko zauważyłem że pominął całki na podstawienia Eulera, policzyłem je i mu je przesłałem Można by policzyć też oznaczone z tego zbioru

Mariusz: Wpis z 25 gru 2020 11:01 w tym wątku Nie wtrąciłeś się tutaj ?