Dobry wieczór Anastazja: Mam do wszystkich szanownych Pań i Panów prośbę: Czy ktoś z Państwa wytłumaczył by mi na czym polega takie zadanie: Dla danego ciągu rekurencyjnego wykaz, ze jest zbieżny i znajdź jego granice:

	1		1
a1 > 0, an+1 =		(an +		dla n ≥ 1
	2		an

Z wykładów mało wiem o co chodzi w rekurencyjności ciągu wiem tyle, że ciąg ma być monofoniczny i ograniczony lecz nie wiem, jak to sprawdzać. Prosiła bym o czytelne przedstawienie problemu

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/404561.html

Anastazja: A tak w ludzkich słowach co znaczy, że ciąg jest "ograniczony z dołu" lub "ograniczony z góry"

znak: Czy przedział [0, 1) jest ograniczony z góry albo dołu?

Anastazja: No tak jest ograniczony zerem z dołu i czymś mniejszym niż 1 z góry

ICSP: nie jest ograniczony "czymś mniejszym niż 1 z góry". Powinnaś mieć definicje ograniczoności z dołu/góry w notatkach. Intuicyjnie można to rozumieć jako fakt, że ciąg nigdy nie spadnie poniżej/wzrośnie powyżej pewnej liczby Tą liczbę nazywamy ograniczeniem z dołu/góry. Matematycznie Ograniczenie z dołu ∃_{M ∊ R} ∀_{n ∊ N} a_n > M czyli wszystkie wyrazy ciągu są większe od pewnej liczby rzeczywistej.

znak: Tak i nie. Jest ograniczony przez 0, ale też przez −1, −2, −3 i tak dalej. 0 to jego największe ograniczenie dolne. Za to nie możemy w żaden sposób wskazać ograniczenia "mniejszego od 1", bo pomiędzy tym ograniczeniem, a 1 znajdziemy inny element tego zbioru. Wynika to z tego, że pomiędzy dwiema liczbami niewymiernymi można zawsze znaleźć inną liczbę wymierną. Wobec tego ograniczeniem górnym będzie 1, 2, 3, ale najmniejszym ograniczeniem górnym będzie właśnie 1. Stąd też mamy supremum oraz infimum zbioru, jako najmniejsze górne/największe dolne ograniczenie zbioru. ICSP podesłał Ci link − działaj. Tutaj masz jeszcze do poczytania, jakbyś nie rozumiała ograniczenia zbioru. https://pl.wikipedia.org/wiki/Kresy_dolny_i_g%C3%B3rny

Anastazja: Lecz w tym przykładnie nie mogę się doszukać w którym miejscu @jc bada ograniczenie ciągu

znak: Jego wpis z 4 listopada 2020, 17:56

Anastazja: A przedstawił by mi Pan skąd on to wziął?

znak: Przecież wszystko jest podane jak na tacy, nawet dwa razy. To po co mam przepisywać słowo w słowo?

a7: trzeba wiedzieć, że jest coś takiego jak średnia arytmetyczna i średnia geometryczna ( z liceum) i że zawsze średnia arytmetyczna jest większa równa średniej geometrycznej czyli jak mamy dwie liczby (tutaj a i 1/a) podzielone przez ich ilość (tj. liczbę jest ich dwie) to będzie to większe równe pierwiastkowi z iloczynu tych liczb a iloczyn jest równy a*1/a liczba a się skraca zostaje 1 √1=1 w ten sposób jc oszacował gdzie jest kres dolny tego ciągu czyli 1 (tak ja to rozumiem)

a7: przepraszam nie kres dolny a ograniczenie z dołu ( nie wiem czy to to samo)

a7: pokazując to na przykładach wiemy że a₁>0

	2   2+   2
to przykład 1: a1=2 wtedy a2=		=3/2 a3=13/12 a4=..... widzimy, że ciąg
	2

maleje, i było pokazane (przez jc , że jego ograniczeniem z dołu jest 1

	(100+1/100)		1
przykład 2: a1= 100 a2=		=50		a3=.......
	2		50

czyli ciąg jest malejący i ograniczony, następnie 23:37 jeszcze jest obliczone, że ciąg ten jest zbieżny (do 1)

a7: przepraszam obliczone jeszcze zostało, że jego granica to jedynka

a7: tutaj jeszcze kilka przykładów jak takie zadania się rozwiązuje w praktyce myślę, że coś się rozjaśni https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Matematyka_1NI/Ci%C4%85gi_rekurencyjne

jc: Przyjmij, że to a₀ = a>0, tak będzie wygodniej.

	a−1
Dalej, niech d =
	a+1

	1+d2n
wtedy an=		→1
	1−d2n

	1+1/38
Np. dla a= 2 i mamy a3=		, 38=6561
	1−1/38