zbadaj zbieżność i wyznacz granice ciągu an określonego wzorem rekurencyjnym: Adelajda: Zbadaj zbieżność i wyznacz granice ciągu a_n określonego wzorem rekurencyjnym:

	1
1) a1 = 1, an + 1 =		dla n ≥ 1
	1+an

	1		1
2) a1 > 0, an + 1 =		(an +		) dla n ≥1
	2		an

Adelajda: bb

jc: (2) począwszy od drugiego wyrazu ciąg jest nierosnący i ograniczony z dołu przez 1. Sprawdź.

Adelajda: A skąd to wiemy?

jc: (1) a_n=f_n/f_n+1, gdzie f_n jest ciągiem Fibonacciego.

jc: a_n > 0, średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna

	an + 1/an
an+1=		≥ √an/an=1
	2

Stąd ograniczenie przez 1.

	1
an − an+1 =		(an − 1/an) ≥ 0 bo an ≥ 1,
	2

czyli ciąg jest nierosnący.

jaros: a w jaki sposób korzystamy tutaj z nierówności pomiędzy średnimi? Tak z ciekawości zapytam, znaczy wiem która jest gdzie w szeregu ale dla mnie jakoś kosmicznie to jest zapisane

jc: a,b ≥0

a+b
	≥ √ab
2

b=1/a

a+1/a
	≥ √a/a=1
2

Adelajda: Dla mnie dalej ciężko zrozumieć co i jak sie tu stało, opisał by mi ktos to bardziej?

jc: Załóżmy, że x > 0. (x+1/x)/2 ≥ 1 Przekształcam równoważnie. (x + 1/x) ≥ 1 x + 1/x ≥ 2 x² + 1 ≥ 2x x² − 2x + 1 ≥ 0 (x − 1)² ≥ 0 a₁ > 0 a_n+1 = (a_n + 1/a_n)/2 Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie. Na podstawie nierówności z pierwszej linii (a_n + 1/a_n)/2 ≥ 1 Dlatego dla a_n+1 ≥ 1 dla n = 1, 2, 3 czyli a_n ≥ 1 dla n = 2, 3, 4, ... Monotoniczność. a_n − a_n+1 = (a_n − 1/a_n)/2 ≥ 1 dla n= 2,3,4,.. bo wtedy a_n ≥ 1, a więc 1/a_n ≤ 1 i dlatego a_n − 1/a_n ≥ 0. Wniosek: ciąg a_n jest malejący (być może od drugiego wyrazu). Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Jeśli a_n →g, to g=(g+1/g)/2, czyli g² = 1, a ponieważ a_n > 0, więc g=1.