LICZBY ZESPOLONE bluee: Zapisać podane wielomiany w postaci iloczynowej zakładając, że W:C→C. a). W(z)=(2+1)z²−(5−i)z+2−2i; b).W(z)=z²+(2i−7)z+13−i; ODOPOWIEDZI:

	4		2
a). W(z)=(2+i)(z−		+		i)(z−1+i);
	5		5

b). W(z)=(z−2−i)(z−5+3i);

ICSP: To są zwykłe trójmiany kwadratowe. Rozkład przebiega identycznie jak dla liczb rzeczywistych. Liczysz deltę, potem pierwiastki a na końcu zapisujesz w postaci iloczynowej.

bluee: I tak właśnie liczę

	9+√2+i(2√2−7)
Ale dla a). wychodzi √Δ=i√2 i dalej z1		.
	10

Natomiast w b). √Δ=√−7−24i. Moduł wychodzi 25, więc jak mam obliczyć arg(z) dla

	−7		−24
cos=		oraz sin=		?
	25		25

ICSP: a) (2 + i)z² − (5 − i)z + 2 − 2i = 0 Δ = 25 − 10i − 1 − 4(4 − 4i + 2i + 2) = 24 − 10i −24 + 8i = −2i = (1 − i)² √Δ = {1 − i , −1 + i}

	5 − i + 1 − i		(6 − 2i)(2 − i)
z1 =		=		= 1 − i
	2(2 + i)		10

	4(2 + 2i)		2
z2 =		=		(2 − 2i)
	10		5

Drugie robisz analogicznie. Jeżeli będziesz miał problem z wyznaczeniem pierwiastka z delty to ten wątek powinien pomóc: https://matematykaszkolna.pl/forum/404169.html

Mariusz: bluee wystarczy jak mając dane wartości cosinusa i sinusa policzysz wartości cosinusa i sinusa połowy kąta a można je policzy bez znajomości wartości kąta 1 = cos²x+sin²x cos2x=cos²x−sin²x 2cos²x = 1+cos2x 2sin²x = 1−cos2x

	1+cos2x
cos2x=
	2

	1−cos2x
sin2x=
	2

a stąd już łatwo

Mila: b) W(z)=z²+(2i−7)z+13−i Δ=(2i−7)²−4(13−i)=−7−24i Próba z wzoru skróconego mnożenia : (3−4i)²=9−24i−16=−7−24i zgadza się. i liczysz z₁, z₂ II sposób −7−24i=(x+iy)², x,y∊R x²+2xyi−y²=−7−24i x²−y²=−7 2xy=−24

	12
y=−
	x

	144
x2−		=−7
	x2

x⁴+7x²−144=0 Δ=49+576=625

	−7−25		−7+25
x2=		<0 lub x2=		=9
	2		2

x=3 lub x=−3 y=−4 lub y=4 (3−4i)²=(−3+4i)²=−7−24i

bluee: DZIĘKUJĘ!

Mila:

Mariusz: Wzór de Moivre zⁿ=|z|ⁿ(cos(nArg(z))+isin(nArg(z)))

	Arg(z)+2kπ		Arg(z)+2kπ
z1/n=|z|1/n(cos(		)+isin(		))
	n		n

k∊ℤ_n n∊ℕ bluee akurat pierwiastek kwadratowy można z postaci trygonometrycznej tylko po skorzystaniu ze wzorków które pokazałem we wpisie z 24 paź 2020 16:40 Trzeba ustalić w której ćwiartce znajduje się argument liczby zespolonej Łatwo to ustalić na podstawie znaku cosinusa i sinusa