Rozwiąż układ równań
Damian#UDM: Rozwiąż układ równań
(1) l
2 = r
2 + H
2
Potrzebuje wyznaczyć R w zależności od r.
Nie mogę do tego dojść więc proszę o pomoc
22 paź 09:55
Damian#UDM: Udało mi się dojść do równania
5r6 − 24R2r4 + 36R4r2 − 16R6 = 0
Lecz nie potrafię nic z tym dalej zrobić.
22 paź 10:02
ICSP: Podziel stronami przez R6
22 paź 10:37
Damian#UDM:
5t
6 − 24t
4 + 36t
2 − 16 = 0
23 paź 02:06
Mariusz:
Damian poczytaj sobie
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
t
2=x;
5x
3−24x
2+36x−16
| | 8 | | 24 | | 192 | | 512 | |
5(x3− |
| )3=5(x3− |
| x2+ |
| x− |
| ) |
| | 5 | | 5 | | 25 | | 125 | |
| | 8 | | 192 | | 512 | |
5(x3− |
| )3=5x3−24x2+ |
| x− |
| |
| | 5 | | 5 | | 25 | |
| | 8 | | 12 | | 8 | | 192 | | 512 | | 12 | | 96 | |
5(x3− |
| )3− |
| (x− |
| )=(5x3−24x2+ |
| x− |
| )−( |
| x− |
| ) |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 25 | | 5 | | 25 | |
| | 8 | | 12 | | 8 | | 416 | |
5(x3− |
| )3− |
| (x− |
| )=5x3−24x2+36x− |
| |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 25 | |
| | 8 | | 12 | | 8 | | 16 | |
5(x− |
| )3− |
| (x− |
| )+ |
| =0 |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 25 | |
z=u+v
z
3=u
3+3u
2v+3uv
2+v
3
z
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
| | 4 | | 16 | |
u3+v3+3uv(u+v)−3(u+v)* |
| + |
| =0 |
| | 25 | | 125 | |
| | 16 | | 4 | |
u3+v3+ |
| +3(u+v)(uv− |
| )=0 |
| | 125 | | 25 | |
Ponieważ założyliśmy że u+v = z więc nie możemy przyrównać tego czynnika do zera
Powyższy układ równań to wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach
u
3 oraz v
3
x
2−4x+4
(5x
3−24x
2+36x−16):(5x−4)
−(5x
3−4x
2)
−20x
2+36x
−(−20x
2+16x)
20x−16
−(20x−16)
0
x
2=2
x
3=2
t
2=2
(t
2−2)=0
(t−
√2)(t+
√2)=0
t
3=−
√2
t
4=
√2
t
5=−
√2
t
6=
√2
23 paź 04:05
jc: Czy równanie (2) jest poprawne?
23 paź 09:39
jc: Jeszcze raz spytam o równanie (2). Problem pewnie z fizyki lub geometrii.
Jeśli R, H, r mają wymiar długości, to I z (1) ma wymiar długości, ale I z (2) jest
bezwymiarowe.
Dlatego mam zastrzeżenia co do 2 równania. Poza tym, jeśli nie ma zależności pomiędzy
równaniami, to otrzymamy raczej kilka rozwiązań, a nie zależność funkcyjną.
23 paź 12:58
Damian#UDM: Mariusz podziwiam za wiedzę
Postaram się poczytać, dziękuję
Podaje treść zadania:
* Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej
stożka.
Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do jego podstawy.
R, r, l > 0
2P
kuli = P
stożka
8πR
2 = πr
2 + πrl / :π
8R
2 = r
2 + rl
8R
2 − r
2 = rl / :r
| 8R2 − r2 | |
| = l , gdzie l − tworząca stożka, r − promień podstawy stożka, R − promień |
| r | |
kuli,
Stąd to równanie wynika
Mój błąd, na dole powinno być r zamiast r
2 . Przepraszam was bardzo :
(1) równanie wynika z twierdzenia pitagorasa w stożku.
(2) równanie wynika z treści zadania.
(3) równanie wynika z podobieństwa trójkątów w przekroju osiowym stożka.
(4) równanie również z podobieństwa trójkątów, gdzie tam została policzona część tworzącej
stożka, x =
√H2 − 2HR
Bardzo przepraszam za niedociągnięcia. Nie powinno ich być z mojej strony.
Miłego weekendu wam wszystkim kochani
23 paź 20:12
jc: Takie błędy zdarzają się chyba każdemu
23 paź 20:28
jc: Pozwól, że zamienię R z r (R−promień podstawy, r promień kuli). Po prostu R>r.
8r2 =R(R+L) Twój wzór.
Z boku widzimy trójkąt z wpisanym kołem.
Pole trójkąta = wysokość x podstawa /2 = R √L2−R2
Pole trójkąta = obwód x r /2 = r (L+R)
Stąd drugi wzór r(R+L)=R √L2−R2.
Mamy więc 2 wzory.
8r2 = R(R+L)
r2(R+L)=R2(R−L) Po małych przekształceniach.
Eliminujemy r.
(R+L)2 = 8R(R−L)
cos a = R/L =c
spełnia równanie kwadratowe
(c+1)2 = 8c(c−1)
Sam dokończ ...
23 paź 21:04
jc: Jak widzisz, też się mylę ....
r2(R+L)=R2(L−R) Po małych przekształceniach.
Eliminujemy r.
(R+L)2 = 8R(L−R)
cos a = R/L =c
spełnia równanie kwadratowe
(c+1)2 = 8c(1−c)
9c2−6c+1=0
(3c−1)2=0
c=1/3
23 paź 21:20
Damian#UDM: Coraz bardziej widzę i dochodzę do wniosku, że nie warto liczyć zadań po nocach, zawsze musi
jakiś błąd wtargnąć
Mi z tych 3 równań udało się uzyskać:
Podstawiając l do równania (2):
r
4 − 4r
2R
2 + 4R
4 = 0
(r
2 − 2R
2)
2 = 0
r = 2R
α − kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy stożka
| | r | | r2 − R2 | | 3 | |
cos(α) = |
| = |
| = |
| |
| | l | | r2 + R2 | | 5 | |
Dziękuje
jc za pomoc
Cieszę się, że udało mi się również z tych równań uzyskać poprawny
wynik
Dziękuje również
Mariusz za pomoc i nową wiedzę
23 paź 21:42
Damian#UDM: Chyba po prostu za dużo wymagam od siebie i zawsze chciałbym być najlepszy i nie popełniać
błędów, no ale tak się niestety nie da
Jeszcze raz dziękuję za pomoc!
23 paź 21:44
23 paź 21:59
Damian#UDM: r =
√2R , po raz kolejny mój błąd
24 paź 01:05
Mariusz:
Damian mi się po prostu nie chciało zgadywać tych pierwiastków ale jak
widać można było w tym równaniu jeden pierwiastek znaleźć wśród dzielników wyrazu wolnego
i wyrazu wiodącego
Tylko mnie się nie chciało ich sprawdzać bo na ogół nie masz pewności czy te pierwiastki
w ogóle znajdziesz wśród tych dzielników
Przy rozwiązywaniu równań trzeciego i czwartego stopnia najważniejsze są
wzory skróconego mnożenia a inne rzeczy takie jak wzory Vieta są tylko pomocnicze
aby przyśpieszyć nieco rozwiązywanie
Oczywiście jest pewien przypadek równania trzeciego stopnia którego rozwiązanie
wyrażasz za pomocą funkcyj trygonometrycznych przedstawiając go licealiście
Po prostu nie korzystasz wtedy z zespolonych aby dostać rozwiązanie równania w tym przypadku
tylko korzystasz z tego że wzór na cosinus bądź sinus potrojonego kąta ma podobną postać
co rozwiązywane równanie
Jeśli chodzi o równanie czwartego stopnia to pomysł jest taki aby najpierw zapisać wielomian
w postaci różnicy kwadratów a dopiero w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
Tutaj oprócz wzorów skróconego mnożenia przydatny będzie także
wyróżnik trójmianu kwadratowego
Jakoś nie sprawdzałem wcześniejszych rachunków tylko
wyszedłem z równania z wpisu z 23 paź 2020 02:06
24 paź 08:20
Damian#UDM: [P]Mariusz]] rozumiem i bardzo dziękuję za pomoc
Zajrzę tam na pewno, wiedza to potęga
24 paź 10:34
Damian#UDM: Mariusz rozumiem i bardzo dziękuję za pomoc
Zajrzę tam na pewno, wiedza to potęga
24 paź 10:35