Funkcja, pochodne, dowód PytanieDo: Udowodnij, że f(x)>x dla każdego x>0 Czy istnieje takie a, dla którego f(x)>x², jeśli x>a?

	x
f(x) =		+√1+x2ln(1+x2)
	√1+x2

Obliczyłem pochodną

x		√1+x2
	−x2+xln(1+x2)+
√1+x2		1+x2

i przyrównałem do zera, z czego otrzymałem: 4>x²(1+x²)(x−ln(1+x²))² Niestety, nie wpadłem na pomysł, jak ładnie przedstawić, że zauważam f'(x)=0 dla x=0. Ponadto próbowałem korzystać z twierdzenia o wartości średniej, jednak nie zaprowadziło mnie to donikąd

	f(x)−f(0)		f(x)
f'(c) =		=		>0
	x		x

Bardzo proszę o pomoc i wskazówki

a7:

	x
1+x2 zawsze większe 1 dla x>0 czyli czyli mamy		, które jest dodatnie dla
	√1+x2

każdego x>0 plus jakaś liczba dodatnia (√1+x²) razy ln(1+x²) który też jest większy od zera dla każdego x>0 tym sposobem mamy na pewno f(x)>0 dla każdego x>0 to tak na zdrowy rozsądek nie wiem czy trzeba liczyć pochodne może take uzasadnienie opisowe wystarczy

a7: przepraszam, żle przeczytałam, myślałam , ze f(x)>0 a tu f(x)>x i f(x)>x²

PytanieDo: Obliczyłem nieprawidłowo pochodną:

xln(1+x2)		2x		1
	+		+
√x2+1		√x2+1		(x2+1)3/2

Jednak wciąż prosiłbym o sugestie Myślę nad: f(x)−x>0 f'(x)−1>0

PytanieDo: Chyba już uporałem się z częścią f(x)>x. Prosiłbym o pomoc w f(x)>x²

a7: a jak się uporałeś z f(x)?

a7: f(x)>x?

PytanieDo: Wykazałem, że f'(x)>1

PytanieDo: Zastanawiam się, czy obliczyć drugą pochodną i zastosować tę samą metodę, czy znajdę przyjemniejsze rozwiązanie

a7: ja nie rozumiem dlaczego wykazanie f'(x)>1 jest wykazaniem że f(x)−x>0

PytanieDo: Hmmm Może to jest właściwe pytanie Co proponujesz?

PytanieDo: Pomęczyć się z Taylorem, by wykazać f(x)>x?

a7: nie Ty chyba masz rację

PytanieDo: Rację z f'(x)>1?

a7: tu Langrane chyba jest potrzebny, ale niestety nie umiem Ci pomóc https://matematykaszkolna.pl/forum/210703.html

a7: nie wiem, nie znalazłam w necie nic podobnego, pasuję...

PytanieDo: Dzięki, wytłumaczenie w linku przedstawia się całkiem ciekawie

a7: oooo to super