Twierdzenie Lagrange'a nierówność i interpretacja Sev: Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić nierówność: ln(1+2x) < 2x dla każdego x>0 Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Prosiłbym o jak najprostsze wyjaśnienie, bo nie mam pojęcia o co chodzi w tym twierdzeniu.

asdf: https://www.google.pl/search?site=&source=hp&q=korzystaj%C4%85c+z+twierdzenia+lagrange%27a+uzasadni%C4%87+nier%C3%B3wno%C5%9Bci&oq=korzystajac+z+twierdzenia+lag&gs_l=hp.3.1.0i22i30l3.463.3552.0.5125.29.25.0.0.0.0.205.2935.7j17j1.25.0.crnk_timecombined...0...1.1.26.hp..8.21.2368.1DetFmibjco więcej Ci nie pomoge − takich zadań nie robiłem

Krzysiek: f(x)=ln(1+2x)−2x policz pochodną i sprawdź dla jakich x jest malejąca. Policz jeszcze f(0).

Sev: Nadal nie rozumiem o co chodzi w tym zadaniu i co mam zrobić z tymi wynikami. Bardzo bym prosił o wyjaśnienie zadania + rozwiązanie, im bardziej szczegółowe tym lepiej.

pigor: ..., no to może np. tak : ln(1+2x) < 2x ⇔ ln(1+2x) − 2x < 0 , więc niech f(x)= ln(1+2x)−2x i f(x) <0 dla x>0 ⇒ sprawdzam znak

	1
pochodnej f '(x) =		* 2 − 2 , czy także f'(x) < 0 dla x>0 , otóż
	1+2x

	2
f '(x) < 0 ⇔		− 2 < 0 / * (1+2x)2 ⇔ 2(1+2x)−2(1+2x)2 < 0 ⇔
	1+2x

⇔ (1+2x) − (1+2x)² < 0 ⇔ (1+2x) (1−1−2x) < 0 ⇔ −2x (1+2x) < 0 /:(−2) ⇔ ⇔ x (1+2x) > 0 ⇔ 2x(x+¹₂) >0 ⇔ x < −¹₂ lub x > 0 , a więc faktycznie f '(x) < 0 dla ∀x>0 ⇒ f(x) malejąca i ciągła ∀x>0 , a stąd i tw. Lagrange'a ln(1+2x)−2x < 0 ⇔ ln(1+2x) < 2x c.n.u. .