pochodna mrw: Ktoś wytłumaczy jak rozwiązać taką pochodną? 3ctgx + ctg³x

: rozwiązać? czy obliczyć pochodną z podanej funkcji https://matematykaszkolna.pl/strona/359.html wysłaąwiaj sie poprawnie matematyka to nauka ścisła

a7: https://matematykaszkolna.pl/strona/359.html może jest sprytniejszy sposób, ale 3ctgx z wzoru w linku a ctg³x=(ctgx*ctgx)*ctg i można na piechotę zrobić podwójny iloczyn chyba

a7: czyli mamy (3ctgx)"=−3(1+ctg²x) (ctg³x)'=(ctg*ctg)'*ctgx+ctg²x(ctgx)'=(2*ctgx'*ctgx)*ctgx+ctg²x*(−(1+ctg²x))= = −2(1+ctg²x)*ctg²x−ctg²x−ctg⁴x= =−2ctg²x−2ctg⁴x−ctg²x−ctg⁴x=−3ctg²x(ctg²x+1) w sumie mamy −3(1+ctg²x)−3ctg²x(1+ctg²x)=−3(1+ctg²x)(1+ctg²x)= =−3(1+ctg²x+1)² =============

a7: mogłam się pomylić w obliczeniach bo ten cotangens się plącze w oczach, więc może sprawdź, albo daj znać czy się zgadza z odpowiedzią, jak trzeba trochę bardzie wytłumaczyć to też daj znać....

a7: jest chochli −3(1+ctg²x)² =============

a7: chochlik

: widzisz ilu tu chętnych bezrobotnych ? nawet nie musisz wiedzieć co napisałes źle teraz to przepisz i wyślij swojemu "profesorowi"

a7: @mrw czy coś trzeba Ci wytłumaczyć?

Jerzy:

	−3		3ctg2x
f’(x) =		−
	sin2x		sin2x

mrw: a7, dzięki a ty nie bądź już taki spocony gościu, chyba ty jesteś bezrobotny skoro masz czasz aby siać jakąś nienawiść niepotrzebnie

Jerzy: Pochodna sumy funkcji jest sumą ich pochodnych.

a7: mrw, dzięki, ale takich tu mamy na porządku dziennym, najszybciej spadają ignorowani

Jerzy: @a7, po co kombinować z iloczynem i utrudniać obliczenia ?

Szkolniak:

	−3		3ctg2x		−3(sin2x+cos2x)		−3
(3ctgx+ctg3x)'=		−		=		=
	sin2x		sin2x		sin4x		sin4x

a7: no ale to może wytłumacz jak się robi bez tej komplikacji, bo gotowego wzoru przecież nie ma

Jerzy:

	1
(ctgx)’ = −
	sin2x

a7: no dobrze, ale przecież pytam się o ten w trzeciej potędze

Szkolniak: a7 to pochodna funkcji złożonej

a7: dobrze, dalej nie rozumiem jak to zrobić "na skróty"

elo: a7 moze ci to pomoze: (x³)` = 3x²

Jerzy: Pochodna funkcji złożonej: [(f(x)ⁿ]’ = n*[f(x)]ⁿ⁻¹*f’(x)

: @mrw ja nie sieję nienawiści, to frazes wykorzystywany w ostatnich czasach do usprawiedliwiania swojej indolencji po prostu nabijam sie tylko z twojego lenistwa i to cię zabolało

Jerzy: Np: (sin³x)’= 3sin²x*cosx

Szkolniak: Liczymy po 'najbardziej zewnętrznych funkcjach'. Weźmy f(x)=(ctgx)³ Najpierw potęga → 3*(ctgx)² Potem '3*(ctgx)²' przemnażamy przez pochodną tego, co jest w nawiasie.

	−1
Stąd f'(x)=3ctg2x*
	sin2x

II przykład: f(x)=ln(ctgx) Funkcja zewnętrzna: logarytm naturalny Funkcja wewnętrzna: cotangens

	1		−1
f'(x)=		*
	ctgx		sin2x

Mam nadzieję że zrozumiale

a7: ok

a7: dzięki, już mnie oświeciło, aż zajrzałam do matematyki dla studenta

a7: @mrw czy Tobie tez już się rozjaśniło?

a7: Podsumowując korzystając w wyjaśnień kolegów i wzoru (ctgx)'=−(1+ctg²x) (3ctgx+ctg³x)'=−3(1+ctg²x)+3ctg²x*(−1)(1+ctg²x)= =−3(1+ctg²x)(1+ctg²x)= =−3(1+ctg²x)² ==========

: skądże za dużo tego żeby na raz ogarnąć a co dopiero samemu zajrzeć do matematyki dla studenta

Mariusz: Jerzy podobno wyrzucili złożenie z programu liceum poza tym postać pochodnej cotangensa zaproponowana przez a7 jest o wiele bardziej użyteczna

	cos(x+y)		cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y)
ctg(x+y)=		=
	sin(x+y)		sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)

ctg(x+y)=

cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y)   sin(x)sin(y)
sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)   sin(x)sin(y)

	ctgxctgy−1
ctg(x+y)=
	ctgx+ctgy

	ctg(x+Δx)−ctg(x)
limΔx→0		=
	Δx

	ctgxctgΔx−1   −ctgx ctgx+ctgΔx
limΔx→0
	Δx

	ctgxctgΔx−1−ctg2x−ctgΔxctgΔx   ctgx+ctgΔx
limΔx→0
	Δx

	−1−ctg2x
limΔx→0
	Δx(ctgx+ctgΔx)

	1
(−1−ctg2x)limΔx→0
	Δxctgx+ΔxctgΔx

	1
(−1−ctg2x)limΔx→0
	Δx   Δxctgx+cosΔx   sinΔx

=−(1+ctg²x)

	ctg3(x+Δx)−ctg3(x)
limΔx→0		=
	Δx

	(ctg(x+Δx)−ctg(x))(ctg2(x+Δx)+ctg(x+Δx)ctg(x)+ctg2(x))
limΔx→0		=
	Δx

	ctg(x+Δx)−ctg(x)
limΔx→0		limΔx→0(ctg2(x+Δx)+ctg(x+Δx)ctg(x)+ctg2(x))
	Δx

=−3ctg²(x)(1+ctg²x) (3ctgx + ctg³x)'=−3(1+ctg²x)−3ctg²(x)(1+ctg²x) (3ctgx + ctg³x)'=−3(1+ctg²x)(1+ctg²(x)) (3ctgx + ctg³x)'=−3(1+ctg²x)²

: l'art pour l'art