Nierówność AHQ: Liczby nieujemne a i b spełniają warunek a²+b²=4 Udowodnij, że

ab
	≤ √2−1
a+b+2

Moja praca: Obserwacja 1 Zauważmy, że z założenia wynika: a∊(0;2) oraz b∊(0;2) Obserwacja 2 Bazując na obserwacji 1 udowodnimy nierówność a+b > ab dla a∊(0;2) oraz b∊(0;2)

	b		a		b		a
DOWÓD: ab = a		+ b		< a+b (zarówno		jak i		są mniejsze od 1)
	2		2		2		2

Próbowałem przekształcić w taki sposób:

ab		ab
	<
a+b+2		ab+2

AHQ: (...) i rozstrzygnij kiedy zachodzi równość.

Leszek: Napisales ,ze a/2 < 1 ⇒ a< 2 i b< 2 to jakim cudem a² + b² = 4 ? ? ?

AHQ: ≤ − poprawiam − nawiasy domknięte powinny być Równość zachodzi dla a=b

ABC: no dobra równość zachodzi a gdzie dowód nierówności? mi zajęło około 15 minut myślenia a jestem stary dziad , a przeglądając twoje inne wpisy wygląda że masz aspiracje do startu w Olimpiadzie Matematycznej, to powinieneś to w 5 minut rozwalić

ICSP:

	ab		ab(a + b − 2)		a + b − 2
L =		=		=		=
	a + b + 2		(a+b)2 − 4		2

	|a + b|		√(a+b)2		√(a+b)2 + (a−b)2
=		− 1 =		− 1 = ≤		− 1 = √2 − 1 = P
	2		2		2

ICSP: tam = przed ≤ trza usunąć Widać też kiedy zachodzi równość.

Minato: Niech a i b ≠ 0 (dla a = 0 lub b = 0 nierówność zachodzi) Gm ≥ Hm

	1		1		ab		3		1
[		•		•		]1/3 ≥		|•
	a		b		2		1   1   1   + + a   b   2/ab		3

1		1		ab
	≥		=
33√2		a+b+2   ab		a+b+2

pokazaliśmy nawet nierówność mocniejszą

ABC: to rozwiązanie rasowego olimpijczyka, ja bardziej prostacko robiłem jeśli a=0 lub b=0 to wyjściowa prawdziwa , a jeśli nie , to można zamiast wyjściowej dowodzić

a+b+2		1		1		2
	≥√2+1 czyli		+		+		≥√2+1
ab		a		b		ab

	1		1
i teraz z (		−		)2≥0 i warunku a2+b2=4 już idzie
	√a		√b

Minato: ABC też miała taki plan , ale przy okazji wyszło coś innego

ICSP: Minato

	2		a + b + 2
a + b +		≠
	ab		ab

Minato: Ale ja nic takiego nie napisałem

1		1		1		1		1		2
	+		+		=		+		+		=
a		b		ab   2		a		b		ab

b		a		2		a+b+2
	+		+		=
ab		ab		ab		ab

Minato: fakt, sorry, zwracam honor

ICSP: Źle zapisałeś/aś zatem nierówność harmoniczną. Należy odwrócić składniki występujące pod pierwiastkiem.

ABC: zdaje się że ICSP chodzi o to że (zmienię litery) średnia harmoniczna x,y,z to

3
1   1   1   + + x   y   z

	1		1		ab
i x=		, y=		, z=
	a		b		2

Minato: ale można to poprawić

a2+b2
	≥ √(ab)2
2

2 ≥ ab

	(ab)2		4
Gm = (		)1/3 ≤ (		)1/3 ≤ 3√2
	2		2

zatem

ab		3√2
	≤
a+b+2		3

NIestety to ograniczenie nie daje nam tezy

jc: https://matematykaszkolna.pl/forum/372337.html

PW: 4 = a² + b² ≥ 2p{a²b² = 2ab (nierówność między średnimi) Wynika stąd, że ab ≤ 2, a więc

	2
(1)		≥ 1
	ab

Znana jest nierówność

	a		b
(2)		+		≥ 2.
	b		a

ab		1
	=		.
a+b+2		a   b   2   + + b   a   ab

Z (1) i (2) wynika, że mianownik tego ułamka jest większy od 3 lub równy 3, zatem ułamek nie

	1
przekracza		.
	3

Jak wiadomo

1
	< 0,4 < √2 − 1, co kończy dowód.
3

Takie bardzo olimpijskie to nie jest.

ABC: PW trochę nie rozumiem twojego rozwiązania, ta równość którą napisałeś pod (2)

ab		1
	=		nie jest prawdziwa dla dowolnych a,b
a+b+2		a   b   2   + + b   a   ab

jakieś dodatkowe założenia tu przyjmujesz?

Bleee: @ABC prawa strona nakłada dodatkowe warunki o tym że a≠0 oraz b≠0 których wcześniej nie miałeś.

ABC: ale mi chodzi o to że normalnie a/ab to się równa 1/b a nie a/b jak napisał PW

jc: Dla a=b=√2 lewa strona równa się prawej, a więc ułamek jest większy od 1/3 bo 1/3 > √2−1.

PW: Wiem, wiem. Oszukałem − oszacowałem

	ab		1
		≤		,
	a2 + b2 + 2		3

co żadnym osiągnięciem nie jest. Wyświetliło mi się to przed oczami gdy poszedłem spać. ================================================================= Poprawka:

	ab		1
u =		=
	a + b + 2		1   1   2   + + a   b   ab

Nierówność 4 ≤ 2ab wynikającą z zastosowania nierówności między średnimi do założenia, można zapisać na dwa równoważne sposoby:

	2
(1)		≥ 1
	ab

	2
(2)		≥ √2.
	√ab

Zastosowanie nierówności między średnimi i (2) daje

	1		1		2
		+		≥		≥ √2.
	a		b		√ab

Wobec tego

	1		1		2
		+		≥ +		≥ √2 + 2,
	a		b		ab

a więc

	1
u ≤		= √2 − 1,
	√2 + 1

co należało udowodnić. Równość ma miejsce dla a = b = √2

jc: (a+b)²≤(a+b)²+(a−b)² = 2(a²+b²) = 8, a więc a+b≤2√2

ab		1		(a+b)2−(a2+b2)		1		(a+b)2−4
	=		*		=		*
a+b+2		2		a+b+2		2		a+b+1

	a+b−2		2√2−2
=		≤		=√2−1
	2		2

ABC: a to co napisałeś PW 8.15 to OK , ja tak podobnie kończyłem swoje rozwiązanie