pierwiastki porównanie sum pierwiastków marusia: co jest większe √7 +√10 czy √3 + √19 jak to obliczyć bez kalkulatora

a7: godz. 11:07 w linku https://matematykaszkolna.pl/forum/44265.html

marusia: do a7 bardzo dziękuję za pomoc przeliczyłam zadanie i wkradł się chyba błąd , 5 też trzeba podnieść do kwadratu. oczywiście wyniku to nie zmieniło. mam jeszcze porównać

1+√3		2
	oraz
1−√3		1−√2

czy najpierw likwiduję niewymierność?

WhiskeyTaster: Załóżmy, że mamy równość: √7 + √10 = √3 + √19 17 + 2√70 = 22 + 2√57 2√70 = 5 + 2√57 4*70 = 25 + 4*57 + 20√57 280 = 25 + 228 + 20√57 280 = 253 + 20√57 27 = 20√57

27
	= √57
20

	27
I można sobie oszacować, że:		< 2 oraz √57 > 7, bo 72 = 49.
	20

Wobec tego √3 + √19 > √7 + √10. To tak bez potęgowania dużych liczb.

WhiskeyTaster: Tak, możesz zlikwidować niewymierność, a potem kombinujesz dalej

marusia: dziękuję Whiskey podpowiesz w tym drugim zadaniu?

a7: @Marusia u mnie chochliki są na porządku dziennym, ale walczę z nimi, grunt, że wiesz o co chodzi i ze zrozumieniem zrobiłaś

WhiskeyTaster: Pewnie. Do usunięcia niewymierności z mianownika będzie w tym wypadku wzór a² − b² = (a − b)(a + b) ze względu na pierwiastek stopnia drugiego. Wobec tego:

1 + √3		(1 + √3)(1 + √3)		(1 + √3)2
	=		=
1 − √3		(1 − √3)(1 + √3)		1 − 3

I spróbuj analogicznie to drugie wyrażenie przekształcić, a potem próbuj dalej

marusia: wyszło mi po przekształceniu −2−√3} oraz −2−2√2 czy dobrze? jak to teraz porównać?

a7: −2−√3>^?−2−2√2 mnożymy razy −1 ze zmianą znaku 2+√3<^?2+2√2 √3<^?2√2 √3<√8 prawda czyli (−2−√3)>(−2−2√2)

marusia: przeliczyłam do końca i rozumiem już tok liczenia. dopytam jeszcze: zawsze mogę zrobić na początku założenie, że np. pierwszy ułamek > od drugiego i końcowe obliczenie wyjdzie mi prawdziwe tak jak w tym zad. to znak założenia jest dobry?

ABC: najlepiej na maturze, egzaminie itp pisać oddzielnie : obliczam kwadrat pierwszej liczby, obliczam kwadrat drugiej liczby, porównuję otrzymane wyniki

a7: tak, ale w tym sensie, że musisz zawsze pamiętać o znaku, jeśli pomnożysz przez minus jeden to zmienić znak i patrzeć czy można podnosić obie strony do kwadratu itp, ale na wszelki wypadek może jeszcze ktoś potwierdziłby i uzupełnił o czym ew. trzeba jeszcze pamiętać?

ABC: no zwykle oni dają obie liczby dodatnie w takich zadaniach , i można oczywiście wtedy zrobić uwagę że dla takich liczb podnoszenie do kwadratu zachowuje znak nierówności

PW: Zacząź od uwagi: Obie liczby są dodatnie i dalej to co radzi ABC. W druim zadaniu obie liczby są ujemne − trzeba uważać.

marusia: tak właśnie robię. przeliczyłam już parę zadań waszą metodą i wychodzą mi. Bardzo dziękuję za wskazówki i pomoc