Zadania Maturalne poz rozszerzony Liczby rzeczywiste Lachu: Witam robie sobie testy maturalne i mam kilka zadan których nie moge rozgryźć prosze o pomoc: 1. Suma 1−4+7−10+13−16+.....+2008− 2011 jest liczbą a) ujemna b)dodatnia c) podzielna przez 3 d) podzielna przez 5 Sam wiem ze ma byc odpowiedz A i C ale w odp jest tez D jak uzasadnic ze ta liczba dzieli sie przez 5? 2.Które ze zdań jest prawdziwe a) Suma kazdych dwóch kolejnych liczb niewymiernych jest liczbą wymierną b) Suma każdych dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną c) Istnieje liczba wymierna i liczba niewymierna których iloczyn jest liczbą wymierną d) istnieje liczba wymierna i niewymierna, których różnica jest liczbą wymierną Zaznaczyłem B ale w odpowiedziach jest B i C dlaczego C? 3.Która z liczb jest podzielna przez 7

	100 4
a)

b) 8¹00 −1 c)21706³ +1 d) 7¹00 +17 Obliczylem ze a jest podzielne i b jest tez podzielne ale nie potrafie jakby tego udowodnic, W odpowiedziach jest A, B , C

	1
4.Jeśli x+		=7 to wartość wyrażenia x2+ U{1)(x2}= ?
	x

a) liczba niewymierna b) liczba całkowita c) mniejsza od 49 d) nie większa od 49 tutaj nie wiem czy z pierwszego rownania liczyc pierwiastki a nastepnie podstawic do drugiego równania? 5.Liczba √2 jest większa od liczby a) ³√3 b) ⁴√4 c) ⁵√5 d) ⁶√6 jak to zrobic zapisać w postaci funkcji wykładniczej a nastepnie wszystko podnieść do potegi 6? 6. Liczba x jest o 60 % większa od z oraz liczba y jest o 25 % wieksza od z. Wtedy liczba x jest większa od liczby y o? a) 28% b) 35% c) 55% d) 78% Tutaj mi wychodzi ze 0,8x=y ....i nie wiem co z tym dalej 7. Liczba 17!+ 18!+ 19! dzieli sie przez a)18 b) 18² c) 18³ d) 19 Tutaj bym prosił jakies uzasadnienie.. ma byc A,B,C,D 8. Liczba √11+√71 +√11−√72 jest: a) niewymierna b) dodatnia c) całkowita d) jest pierwiastkiem pewnego równainia kwadratowego o współczynnikach Całkowitych Tutaj tylko wywnioskowałem ze jest dodatnia a ma byc odp. B,C,D 9. Wśród każdych 2010 kolejnych liczb całkowitycg istnieje loczba która: a) jest kwadratem liczby naturalnej b) jest podzielna przez 2000 c) ma w zapisie dziesietnym obok siebie trzy szóstki d) jest naturalną potęgą liczby 2 Tutaj zaznaczylem B i A a ma byc B i D 10. Oblicz (nie moge zapisać ułamkiem wiec zapisze) 1:(³√5− ³√4) 11. Liczba 2^{log35− 5log32} logarytm przy podstawie 3 z dwóch − 5 logarytmów przy podstawie 3 z dwóch jest liczbą: a) dodtania b) całkowita c) równa 3 d) rowna 0 12. Jesli x<−2 to wyrazenie |1−|x+1|| jest równe a) −2+x b) −x c) 2+x d) −2−x 13 Liczba n³ gdzie n jest liczba naturalną dzieli się przez 12. Stad wiemy ze n dzieli sie przez a)12 b) 6 c) 4 d) 3 14. Niech a= 6¹0 i b = 12⁵ wtedy a) ab= b) ^a_b c) ^b_a= d) a+b=

Lachu: ref

Lachu: odswiezam

Lachu: pls

Nikka: Zad. 1 Jeśli spojrzeć na wyrażenie z zadania 1 to: 1−4 = −3 7−10 = −3 13−16 = −3 .... 2008−2011 = −3 czyli −3 + (−3) + (−3) +... + (−3) = (−3)*k = (−1)*3*k gdzie k określa ile razy liczba −3 występuje w tym wyrażeniu, zatem suma jest liczbą ujemną i widać, że jest podzielna przez 3 (wielokrotność liczby 3)

Lachu: tak rozumiem ale ma byc tez podzielna przez 5

Edek: W zadaniu 1 Rozłóżmy podany ciąg na dwa podciągi I − o wyrazach dodatnich 1,7,13,...,2008 gdzie a₁=1 , r=6, a_n=2008 a_n=a₁+(n−1)r z tego wychodzi, że n=335,5 wynika z tego, że nie jest to ciąg, ale nas to nie interesuje, bo nam zależy jedynie na sumie tego wyrażenia II − o wyrazach ujemnych −4,−10,−16,...,−2011 gdzie b₁=−4, r=−6, b_n=−2011 b_n=b₁+(n−1)r z tego wychodzi, że n=335,5 wynika z tego, że nie jest to ciąg, ale nas to nie interesuje, bo nam zależy jedynie na sumie tego wyrażenia Sumę pierwszego wyznaczmy

	a1+an		1+2008
Sn =		*n=		*335,5= 337 009,75
	2		2

	−4−2011
Sumę drugiego wyznaczmy		*335,5= − 338 016,25
	2

, a więc suma tego ciągu wynosi: 337 009,75 − 338 016,25 = −1 006,5 liczba podzielna przez 5 to liczba którą ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 co świadczy o poprawności odp. A,C i D

Nikka: mnie się wydaje, że coś jest nie tak bo skoro każda taka różnica jest równa −3 to czy wynik nie powinien być liczbą całkowitą... skoro nie są to ciągi to czemu korzystamy ze wzoru na n−ta sumę ciągu arytmetycznego?

Nikka: i n to liczba naturalna to jak możemy podstawić 335, 5 ? nie rozumiem

Nikka: czy przypadkiem nie ma błędu w znakach w przykładzie?

Lachu: znaki sa dobrze przepisane, ja mialem na to inny sposob staralem sie szukac całkowitej ilośći grup po piec (−3)

Edek: napisałem przecież, że nie są to ciągi, ale nas nie interesują w zadaniu ciągi tylko suma końcowa oraz jej własności jak podzielność przez 3, 5 czy, że jest liczbą ujemną. Można takie coś rozważyć, tylko napisz, że to nie jest ciąg tylko np. twoje jakieś równanie, wzór czy coś podobnego, oczywiście, że podłożone jest to i to bardzo pod ciąg, ale ciągiem jak napisałem wyżej nie jest

Nikka: nie zgadzam się... dla mnie ta suma musi być liczbą całkowitą... jak z dodawania liczb całkowitych może wyjść ułamek dziesiętny to ja nie rozumiem...

tom: 1 zadanie ma "skopaną" treść. Gołym okiem widać, dodatnie składniki tego ciągu są liczbami nieparzystymi, parzyste zaś są ujemne.Dlatego jego ostatnie elementy(+2008−2011) nie mają tu zastosowania. Ktoś układając zadanie się machnął i pewnie sam nie wie gdzie chciał w tym ciągu sie zatrzymać. Życzę jak najmniej takich zadań, dobrze że takiej matury ja zdawać już nie muszę

Nikka: no właśnie Tom, mnie też coś tu nie pasowało ze znakami − zabrakło 'ciągłości' w rozumowaniu − nieparzyste mają + , parzyste − i nagle na końcu jest odwrotnie ...

Lachu: to fajnie przynajmiej wiem ze nie zrobilem tego ze nie umialem a pomozecie z kolejnymi?

Lachu: ?

Lachu: ref

Nikka: Zadanie 7. 17! + 18! + 19! = 17! + 17!*18 + 17!*18*19 = 17!(1+18+18*19) = 17!(19+18*19) = 17!*19*(1+18)= = 17!*19*19 d) podzielna przez 19 17! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17 2*9 = 18 lub 3*6 = 18 czyli podzielna przez 18 podzielna przez 18² bo dwa iloczyny składników są równe 18 (2*9 i 3*6) a podzielna przez 18³ nie chce mi wyjść

Lachu: dzieki serdeczne

JAAA: lachu odpisz jak mozesz

Lachu:

Lachu: prosze o pomoc

kiełbasa: https://matematykaszkolna.pl/forum/44416.html ja też... od godziny i jak narazie tylko pomogłam innym a mi znów nikt nie chce...

tom: 7. trzeba prościej 17! + 18! + 19! = 17!(1 + 18 +18 *19) = 17!(19+18*19)= 17!*19(1+18)= 17!*19² a) tak bo 2*9 b) tak bo 2*9*3*6 c) tak bo2*9*3*6*12*15 d) tak bo 19 jest czynnikiem iloczynu

tom: 13. 12 = 2 * 2 *3 n jest wielokrotnością iloczynu 2*3 a) nie ( np 6³ = 2*3*2*3*2*3 dzieli się przez 12, a 6 nie) b) tak bo 6=2*3 c) nie (np n=30 d) tak − oczywiste

tom: 9. a) nie (np. −2020 do −11) b) nie (np −1005 do1004 c) tak (tak sprawdziłem ale trudno mi to zwięźle uzasadnić, a pisać nie lubie d) nie (np pomiędzy 2049 i 4095 jakieś)

Lachu: dzieki bardzo jeszcze kilka zadan

Jack: w zad 8: Liczba √11+√71 +√11−√72 czy √11+√72 +√11−√72? Jeśli to drugie to: √11+√72 +√11−√72=√9+2*3√2+2+√9−2*3√2+2= =√(3+√2)²+√(3−√2)²=6.

Jack: y=x−6 −−−−> "pewne równanie o współczynnikach całkowitych". Ale to już było proste...

Jack: w 4. można np. wyliczyć x z pierwszego równania i podstawić do drugiego...

Jack: w 1. widać, że ciąg liczb dodatnich powstaje przez dodanie 6 do poprzedniej liczby począwszy od 1. 1,7,13.... w końcu 2008. Jednak nie istnieje taka liczba n∊N, że 1+6*n=2008. Tzn. niemożliwe jest otrzymanie liczby 2008 w takim ciągu. Innymi słowy, jakiś błąd się pojawił w samym zadaniu. Analogicznie jest z liczbami ujemnymi. Zostawiam ten przykład...

Jack: Zad 2

	p1		p2
Załóżmy, że mamy dwie liczby wymierne,		i		, gdzie p1.p2,q1,q2 ∊N i
	q1		q2

q₁≠0 oraz q₂ ≠0.

	p1*q2+p2*q1
Suma takich liczb wygląda następująco:		. Zatem udało się
	q1*q2

	p1		p2
przedstawić sumę		i		, jako "ułamek liczb naturalnych" (mniejsza o
	q1		q2

ścisłość sformułowania), zatem jest to liczba wymierna.

Jack: c) Istnieje liczba wymierna i liczba niewymierna których iloczyn jest liczbą wymierną Weźmy q=0 i p=√2 q*p=0*√2=0 . Zatem faktycznie istnieje takie q wymierne i p niewymierne że p*q ∊Q.

Jack: Zad 6 x=z+60%z=1,6z

	4
y=25%z+z=1,25z ⇒ z=		y=0,8y
	5

x=1,6z=(1,6)*(0,8)*y=(1,28)*y=y+28%y Zatem odp a).

Jack: W Zad 10 trzeba skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów (tzn licznik i mianownik domnożyć do o wyraz a²+ab+b²) i powinno wyjść...

Jack: Zad 14 a) ab= 6¹⁰*12⁵=2¹⁰*3¹⁰*2⁵*6⁵=2¹⁰*3¹⁰*2⁵*2⁵*3⁵=2²⁰*3¹⁵

	a		210*310
b)		=		=...
	b		25*25*35

	b
c)		=...
	a

d) a+b=2¹⁰*3¹⁰+2⁵*2⁵*3⁵=2¹⁰*3¹⁰+2¹⁰*3⁵=....

Jack: Zad 9. a) jest kwadratem liczby naturalnej nie, bo dla odpowiednio dużych liczb naturalnych różnica między kwadratami dwóch kolejynch jest dowolnie duża. b) jest podzielna przez 2000 Tak, bo nawet w przedziale −1004 do 1005 istnieje 0 podzielne przez 2000. W pozostałych sprawa oczywista. c) ma w zapisie dziesiętnym obok siebie trzy szóstki Tak, bo w każdym takim przedziale istnieje liczba k666. Niech n będzie pierwszą liczbą 2010−wyrazowego ciągu. Wówczas zawsze można zwiększyć n takiej aby miała postać k666, bo w najgorszym wypadku n może mieć postać m667 wówczas zwiększamy ją o 999. W najlepszym ma postać m666 (Opisowo przedstawiam ale chyba poprawnie). d) jest naturalną potęgą liczby 2 nie, bo dla odpowiednio dużych potęg 2 różnica między n a n+1 wyrazem jest dowolnie duża. Np. 2²⁰ i 2²¹

Jack: W Zad 3 pewnie trzeba rozpisywać ze wzoru skróconego mnożenia.. do różnych potęg. http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_skróconego_mnożenia

Jack: W zad 12. |1−|x+1|| {x+1 dla x≥−1 |x+1|= {−x−1 dla x<1 Bierzemy ten drugi przedział. Zatem mamy: |1+x+1|=|x+2|. No i wiadomo jak to rozpisać dla x<2 będziemy mieli −x−2.

Jack: W zad 5 podnosiłbym każde dwa wyrazy do potęgi która jest NWW stopni ich pierwiastka. Np √2 i ³√3 do potęgi 6 √2>? ³√3 2³>?3² 8>?9 ... A ednak mamy √2<³√3.

Sylwia;): O liczbie x wiadomo, że log₃x=0,25. zatem a)x⁸=3² b)x⁶=2⁴ c)x³=3⁴ d)x⁴=3²

dajana: 28%liczby 220

Janek191: 28% z 220 = 0,28*220 = 61,6

marusia: co jest większe √7+√10 czy √3+√19 jak to porównać bez kalkulatora?

a7: w podstawówce czy w lo/tech?

a7: powiedzmy, że √7+√10>√3+√19 podnosimy obie strony do kwdaratu 7+10+√280>3+19+√228 √280−√228>5 podnosimy obie str. do kwadratu 280 −2√280*228+228>5 503>√255360 fałsz, gdyż 503*503=253009<255360 czyli √3+√19 jest większy

marusia: bardzo dziękuję