Rozwiazywanie pisemne duzych pierwiastka duzych liczb. Dawidek990: jak pisemnie rozwiazali byscie pierwiastek z 112225? da sie wgl to zrobic? bo mi jakies bledy wychodza w sensie pierwiastek z 112225 to 335 112225|5 22445|5 4489|? i co dalej?

Minato: 67²=4489

ICSP:

	106 − 1		104 − 1
112225 = 111111 + 1111 + 3 =		+		+ 3 =
	9		9

	106 − 1 + 104 − 1 + 27		103 + 2*5*103 + 52
=		=		=
	9		9

	103 + 5		1005
= (		)2 = (		)2 = (335)2
	3		3

ABC: przyjdzie Mariusz to rozpisze algorytm pisemnego pierwiastkowania, bo mi się nie chce

Mila: 4489<4900 cyfra jedności liczby dwucyfrowej : 3 lub 7 Próby: 57²<3600 63²=3969 za mało 67²=4489⇔ 112225=5²*67² √112225=5*67=335

Eta: 11 22 25 = 335 − 9 −−− 222|63*3 − 189 −−−−−− 3325| 665*5 − 3325 −−−−−−− ===

ABC: Eta to ty umiesz takie sztuki?

Eta: Kiedyś jak nie było kalkulatorów , to tak liczyliśmy

ABC: jeszcze moje pokolenie tego uczyli w 1980 ... a potem zdechło , chociaż Mariusz umie

Dawidek990: ICSP mogl bys rozwinac co zrobiles? jaka metoda?

Dawidek990: Eta: ty tez bys mogla powiedziec jaka to metoda ?

PW: To co napisał − celuje na kwadrat sumy. W drugiej linijce zgubił wykładnik potęgi − powinno być w liczniku (10³)²+....

ABC: metoda ICSP zapożyczona od Adama Mickiewicza − Wielka Improwizacja

a7: @Dawidek tutaj metoda która spierwiastkowała Eta opisana przez Mariusza https://matematykaszkolna.pl/forum/397723.html

PW: Tego co Eta już nie uczą w szkołach. Powinieneś po prostu rozłożyć liczbę 112225 na czynniki pierwsze (tego jeszcze uczą) i zobaczyć, że jest tak jak napisała Mila w przedostatniej linijce.

ABC: tu mój ulubiony youtuber w tym temacie: https://www.youtube.com/watch?v=PpqbJmeBJvg

Mariusz: ABC ja umiem bo mnie uczyła nauczycielka która teraz ma ok 80 lat i mi pokazała ten sposób przy okazji równania kwadratowego Ja analizując ten sposób wyprowadziłem sposób na wyciąganie pierwiastka sześciennego Teraz obchodzę okrągłą rocznicę 20 lat od zdania matury i trochę mi tych czasów brakuje

Mariusz: Zasada działania pisemnego sposobu obliczania pierwiastka Liczbę możesz zapisać jako 10a+b Po podniesieniu do kwadratu otrzymujesz (10a+b)²=100a²+20ab+b² Z dwóch ostatnich wyrazów wyciągasz b (10a+b)²=100a²+(20a+b)b (10a+b)²−100a²=(20a+b)b 1. Liczbę pierwiastkowaną dzielisz na dwucyfrowe grupy od przecinka podążając w obie strony 2.Szukasz takiej cyfry aby różnica między liczbą utworzoną z grupy położonej najbardziej na lewo a kwadratem wybranej cyfry była najmniejszą liczbą nieujemną 3. Do tej różnicy spisujesz cyfry z następnej grupy i na boku wykonujesz takie operacje Podwajasz aktualne przybliżenie Do podwojonego aktualnego przybliżenia dopisujesz ostatnią cyfrę następnego przybliżenia (Tej cyfry nie trzeba wybierać na ślepo można ją oszacować pomagając sobie dzieleniem) Tak utworzoną liczbę mnożysz przez ostatnią cyfrę następnego przybliżenia Odejmujesz od reszty liczbę uzyskaną na boku 4. Iterujesz krok trzeci dopóki Wyczerpiesz wszystkie grupy i otrzymasz resztę równą zero Uzyskasz zadowalające cię przybliżenie I teraz bazując na tym sposobie wyprowadziłem sposób pisemny obliczania pierwiastka trzeciego stopnia Liczbę możesz zapisać jako 10a+b Po podniesieniu do sześcianu otrzymujesz (10a+b)³=1000a³+300a²b+30ab²+b³ Z trzech ostatnich wyrazów wyciągasz b (10a+b)³=1000a³+(300a²+30ab+b²)b (10a+b)³−1000a³=(300a²+30ab+b²)b Teraz zauważyłem że w pierwszym wyrazie dwie ostatnie cyfry są zerami natomiast ostatni wyraz może mieć co najwyżej dwie cyfry więc (10a+b)³−1000a³=((300a²+b²)+30ab)b 1. Liczbę pierwiastkowaną dzielisz na trzycyfrowe grupy od przecinka podążając w obie strony 2.Szukasz takiej cyfry aby różnica między liczbą utworzoną z grupy położonej najbardziej na lewo a sześcianem wybranej cyfry była najmniejszą liczbą nieujemną 3. Do tej różnicy spisujesz cyfry z następnej grupy i na boku wykonujesz takie operacje Potrajasz aktualne przybliżenie Do potrojonego aktualnego przybliżenia dopisujesz kwadrat ostatniej cyfry następnego przybliżenia Taka uwaga jeżeli ten dopisywany kwadrat jest liczbą jednocyfrową to poprzedzamy go zerem bo musimy dopisać dwie cyfry (Tej cyfry nie trzeba wybierać na ślepo można ją oszacować pomagając sobie dzieleniem) Do utworzonej liczby dodajesz potrojony iloczyn aktualnego przybliżenia i ostatniej cyfry następnego przybliżenia przesunięty o jedną pozycję w lewo Tak utworzoną liczbę mnożysz przez ostatnią cyfrę następnego przybliżenia Odejmujesz od reszty liczbę uzyskaną na boku 4. Iterujesz krok trzeci dopóki Wyczerpiesz wszystkie grupy i otrzymasz resztę równą zero Uzyskasz zadowalające cię przybliżenie

getin: Na przykładzie 998001 chciałbym się tego nauczyć najpierw dla pierwiastka kwadratowego Krok 1: 99 80 01 Krok 2: Grupa najbardziej na lewo to 99 Wybieram cyfrę 9 bo najmniejszy nieujemny wynik wyrażenia 99−a gdzie a jest cyfrą, będzie dla a=9 99 − 9² = 18 Krok 3: Do różnicy z kroku 2 czyli 18 spisuję kolejną grupę z liczby 99 80 01 czyli 80 18 80 Co jest aktualnym przybliżeniem ?

Mariusz: Aktualnym przybliżeniem jest w tym kroku właśnie ta cyfra 9 którą znalazłeś w kroku 2 I teraz wczytaj się w ten opis sposobu pisemnego i spróbuj dokończyć Jak nie będziesz czegoś wiedział to pisz

getin: Obliczenia na boku: Podwajam aktualne przybliżenie czyli 9*2 = 18 Wyznaczam ostatnią cyfrę następnego przybliżenia mam 18 80 01 18−a² ma najmniejszą wartość nieujemną dla a=4 18 − 4² = 2 więc ostatnia cyfra następnego przybliżenia to 4 do liczby 18 dopisuję 4 mam 184 Mnożę 184 przez ostatnią cyfrę następnego przybliżenia 2 − a² ma najmniejszą wartość nieujemną dla a=1 więc 184*1 = 184 Od reszty mam odjąć liczbę uzyskaną na boku Czym jest reszta ?

ABC: nie zrozumiałeś

ABC: wrzucę ci skreeny z algebry dla samouków klasyczny podręcznik z lat 1960 , ale nie teraz bo uczę zdalnie cały dzień

Bogdan: Jeśli dwie ostatnie cyfry kwadratu liczby naturalnej tworzą liczbę 25, to liczba stojąca przed 25 jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, czyli jest rozwiązaniem równania n*(n + 1). Szukany pierwiastek to liczba n z dopisaną na końcu cyfrą 5, czyli jest to liczba 10n+5. W tym przypadku: 112225 1122 = n*(n + 1) stąd n = 33 i √112225 = 335 Ten sposób wynika z zgrabnego i znanego algorytmu podnoszenia do kwadratu liczb zakończonych cyfrą 5. Bierzemy liczbę stojącą przed ostatnią cyfrą równą 5 i tę liczbę mnożymy przez liczbę o 1 większą. Ten iloczyn z dopisaną za nim liczbą 25 daje wynik. Przykład: 75² = 7 * 8 = 56, stąd 75² = 5625 W tym zadaniu: 335² = 33 * 34 = 1122, zatem 335² = 112225.

Mariusz: ABC czy to znaczy że nie opisałem tego sposobu wystarczająco zrozumiale ? A tak na marginesie nauczycielka która mi ten sposób pokazała ma dzisiaj imieniny

ABC: Mariusz ogólnie ok napisałeś ale jeden moment mogłeś naświetlić bardziej

Mariusz: getin przykład miałeś u Ety no ale dobrze 99 80 01 Tutaj dobrze podzieliłeś liczbę na dwucyfrowe grupy 99−9²=18 , tą cyfrą i zarazem aktualnym przybliżeniem jest 9 Teraz miałeś do tej reszty spisać następną grupę czyli 1880 Podwojenie aktualnego przybliżenia to 2*9=18 Teraz wyszukujesz ostatnią cyfrę następnego przybliżenia (Dopisujesz ją do podwojonego aktualnego przybliżenia a następnie tak utworzoną liczbę mnożysz przez ostatnią cyfrę następnego przybliżenia) 1880−189*9=1880−1701 1880−189*9=179 Twoja reszta to 179 a twoje aktualne przybliżenie to 99 Do reszty dopisujesz następną grupę 17901 Na boku zapisujesz podwojenie aktualnego przybliżenia i szukasz ostatniej cyfry następnego przybliżenia 17901−1989*9=17901−17901 17901−1989*9=0 Wyczerpaliśmy wszystkie grupy oraz otrzymaliśmy resztę równą zero czyli uzyskaliśmy jeden z warunków stopu i naszym wynikiem jest 999 Teraz policz jeszcze pierwiastek z innej liczby

Mariusz: ABC "Mariusz ogólnie ok napisałeś ale jeden moment mogłeś naświetlić bardziej" Co mógłbym naświetlić bardziej ? Nauczycielka pokazała mi tylko sposób na pisemne obliczanie pierwiastka kwadratowego Do sposobu pisemnego obliczania pierwiastka sześciennego doszedłem sam Wiesz nie mam wykształcenia pedagogicznego ale chciałbym wiedzieć jak w sposób zrozumiały przekazywać użytkownikom takie tematy

ABC: "2.Szukasz takiej cyfry aby różnica między liczbą utworzoną z grupy położonej najbardziej na lewo " tu mogłeś rozpisać, bo jest reguła na tą cyfrę, nie trzeba zgadywać , reguła mówi że cyfra jest dobra albo o 1 za wysoka i tylko to trzeba sprawdzić

Mariusz: No to ja oszacowuje tą liczbę wspomagając się dzieleniem Dzielę resztę przez liczbę utworzoną z dwóch góra trzech cyfr znaczących podwojenia aktualnego iloczynu (wybieram tyle cyfr znaczących aby łatwo podzielić w pamięci)

ABC: jest to jedna z możliwych metod i warto było o tym napisać

Mariusz: Ja w pierwszej iteracji cyfrę biorę z tabliczki mnożenia Tabliczkę mnożenia znam na pamięć i łatwo jest mi dopasować taką cyfrę Jeśli chodzi o znalezienie kolejnych cyfr to oszacowuje je korzystając z dzielenia Jeżeli dobrze pamiętam to nauczycielka nie pokazała mi jak szukać cyfr tylko powiedziała o tym dzieleniu liczby na grupy opisała to że na boku podwajamy aktualne przybliżenie i dopisujemy taką cyfrę aby po pomnożeniu tak uzyskanej liczby przez poszukiwaną cyfrę otrzymać wynik możliwie najbliższy reszcie ale nie większy Pokazała też jak działa ten sposób na przykładzie Na to że liczbę można oszacować dzieleniem to już sam wpadłem A to jak znaleźć cyfrę do pierwszej iteracji może się przydać bo dla sześcianu z tabliczki mnożenia tej cyfry nie weźmie Jeżeli chodzi o dalsze uogólnianie sposobu to jak dla mnie zbyt dużo obliczeń na boku będzie a trzeci stopień może się jeszcze przydać gdy chcemy obliczyć długość z objętości albo jak bawimy się prawami Keplera Swoją drogą w zbiorze Krysickiego i Włodarskiego Analiza matematyczna w zadaniach jest kilka zadań prowadzących do równania trzeciego stopnia

ABC: ten pan tutaj podaje tą regułę mniej więcej w ten wersji której mnie uczono 40 lat temu ] punkt 2) http://zsk.ii.us.edu.pl/index.php/pl_PL/pracownicy/mgr-lukasz-wieclaw/algorytm-pierwiastka

Mariusz: Z tym dzieleniem to trzeba uważać zwłaszcza w pierwszych iteracjach kiedy to aktualne przybliżenie nie jest zbyt dokładne i ostatnia cyfra następnego przybliżenia ma wpływ na wynik dzielenia np 3 61 1 2 61 | Tutaj przybliżenie nie jest aż tak dokładne aby ostatnia cyfra nie miała wpływu na oszacowanie wyniku dzielenia Ale jeśli w celu oszacowania cyfry jako dzielnik weźmiemy podwojenie przybliżenia powiększone o jedynkę to uda nam się oszacować cyfrę np w powyższym przykładzie w celu oszacowania ostatniej cyfry następnego przybliżenia weźmiemy liczbę utworzoną z dwóch pierwszych cyfr reszty czyli 26 i podzielimy ją przez 3 zamiast 2 to otrzymamy że kandydami na ostatnią cyfrę następnego przybliżenia są cyfry 8 albo 9 Tutaj okazuje się że cyfra 8 to trochę za mało i ostatecznie otrzymujemy że √361=19

Mariusz: ABC trochę zastanawiałem się dlaczego getin nie zrozumiał tego sposobu i założyłem że nie umiem go wystarczająco dokładnie przedstawić aby był zrozumiały a już kiedyś próbowałem pokazać ten sposób innemu użytkownikowi a7 pokazał(a) odnośnik do tego tematu https://matematykaszkolna.pl/forum/397723.html

WhiskeyTaster: Mariusz, spokojnie. Nie każdy wszystko łapie od razu

ABC: Mariusz gdybyś dał taki opis jak tu, pewnie by zrozumiał https://zapodaj.net/d16b2c7d6f844.jpg.html

Mariusz: WhiskeyTaster: A ty zrozumiał byś opis tego sposobu ? Zdaje się że w poprzednim wpisie jest błąd w opisie pisemnego sposobu obliczania pierwiastka trzeciego stopnia który łatwo wyłapać patrząc na użyty wcześniej wzór skróconego mnożenia 1. Liczbę pierwiastkowaną dzielisz na trzycyfrowe grupy od przecinka podążając w obie strony 2.Szukasz takiej cyfry aby różnica między liczbą utworzoną z grupy położonej najbardziej na lewo a sześcianem wybranej cyfry była najmniejszą liczbą nieujemną 3. Do tej różnicy spisujesz cyfry z następnej grupy i na boku wykonujesz takie operacje Potrajasz kwadrat aktualnego przybliżenia Do potrojonego kwadratu aktualnego przybliżenia dopisujesz kwadrat ostatniej cyfry następnego przybliżenia Taka uwaga jeżeli ten dopisywany kwadrat jest liczbą jednocyfrową to poprzedzamy go zerem bo musimy dopisać dwie cyfry (Tej cyfry nie trzeba wybierać na ślepo można ją oszacować pomagając sobie dzieleniem) Do utworzonej liczby dodajesz potrojony iloczyn aktualnego przybliżenia i ostatniej cyfry następnego przybliżenia przesunięty o jedną pozycję w lewo Tak utworzoną liczbę mnożysz przez ostatnią cyfrę następnego przybliżenia Odejmujesz od reszty liczbę uzyskaną na boku Oczywiście różnica ta musi być możliwie najmniejszą liczbą nieujemną 4. Iterujesz krok trzeci dopóki Wyczerpiesz wszystkie grupy i otrzymasz resztę równą zero Uzyskasz zadowalające cię przybliżenie Jeśli odwrócisz sposób liczenia pierwiastka kwadratowego to otrzymasz sposób podnoszenia do kwadratu przydatny podczas obliczeń potrzebnych do obliczania pierwiastka trzeciego stopnia sposobem pisemnym

WhiskeyTaster: Musiałbym się wczytać, a na to dzisiaj czasu już za bardzo nie mam. Mogę jutro spróbować i zobaczymy