Pochodna z definicji Szkolniak: Witam, próbowałem ostatnio wyznaczyć pochodną funkcji y=ax (a>0) z definicji, i napotkałem problem, ponieważ nie do końca wiem jak to zrobić. Moja próba:
 ax+h−ax ax(ah−1) ah−1 
f'(x)=limh−>0(

)=limh−>0(

)=ax*limh−>0(

)
 h h h 
I dalej nie wiem co robić. Próbowałem coś kombinować z podstawą 'e', ale koniec końców wyszło mi na to samo. Mógłbym prosić o wytłumaczenie lub podpowiedź?
2 maj 02:31
Harry: Zacznij od zamiany na funkcję z e: ax = eln(ax) = exln(a)
 e(x−h)ln(a) − exln(a) 
limh→0

= ...
 h 
2 maj 04:19
a7: http://matematyka.pisz.pl/forum/122957.html w linku masz podpowiedź, robimy podstawienie ah−1=t czyli t+1=ah czyli h=loga(t+1) oraz t=ah−1→0 przy h→0
 ax0(ah−1) ax0*t 
limh→0

=limh→0

=
 h lga(t+1) 
 ax0*1 ax0*1 
limh→0

=limh→0

=
  1t*lga(t+1)  *lga(t+1)1t 
 ax0 ax0 
=

=

=ax0*lna
 lgae lne/lna 
2 maj 04:21
a7: PS. nie wiem czy to jest na pewno dobrze...
2 maj 04:22
Szkolniak: Spróbowałem z podstawieniem jak u Ciebie a7 i wyszlo chyba tak samo emotka Mam tylko jedno pytanie: eh*lna−1=t ⇒ h=lna(1+t) Wtedy pochodna:
 t 1 
ax*limh−>0

=ax*limt−>0

=
 lna(1+t) 
1 

*lna(1+t)
t 
 
 1 1 
=ax*limt−>0

=ax*limt−>0

=...
 lna(1+t)1t lnae 
I tutaj rozumiem że mogę po prostu 'opuscic' granicę, ponieważ nie występuje w niej już w ogóle 't'?
2 maj 13:36
a7: no chyba na pewno tak, ale lepiej jeszcze jak zabierze głos ktoś kto wie zupełnie na pewno
2 maj 13:38
jc: A teraz jeszcze pokaż, że granica (1+1/t)t istnieje oraz, że logarytm jest funkcja ciągłą... Wydaje się, że na tym etapie trudno przeprowadzić dowód krótko i ściśle.
2 maj 13:41
Szkolniak: jc w takim razie jest to dobra droga i jedyna? Czy jest jeszcze jakaś bardziej optymalna?
2 maj 13:51
jc: Zakładamy, że 0<x<1/2.
 1 1 
(1+

)n+1 < e < (1+

)n
 n+1 n−1 
Dla danego x znajdujemy n takie, że 1/(n+1) < x < 1/n Mamy
 x 1 1 x 
1+

< 1+

< ex < 1+

> 1+

 1+x n+1 n−1 1−2x 
1 ex−1 1 

<

<

1+x x 1−2x 
Granica w x=0+ jest oczywista.
e−1−1 ex−1 

=

, granica w x=0− jest taka sama.
−x x 
2 maj 13:53
jc: Szkolniak, najlepiej zostawić to bez dowodu. Jak się dowiesz, że ex=1+x+x2/2!+x3/3! + ... wszystko stanie się proste. Pokazanie, że ex (szereg), to właśnie ex (potęga) też nie jest trudne.
2 maj 13:55
jc: Oj, tam wyżej napisałem > zamiast <.
2 maj 13:56
Szkolniak: W szkole średniej nie ma nawet granicy z 'e', więc też krążę w tym temacie jakby na własną rękę, ale spróbuję zrozumieć to co napisałeś o 13:53. W takim razie na ten moment mogę zostawić dowód bez uzasadnienia, o jakim pisałeś, i jest on okej?
2 maj 14:04
jc: Parę rzeczy zmień. ln oznacza logarytm naturalny, powinno być raczej loga. Na pewno nie powinno być lim, tam gdzie w miejsce (1+t)1/t wpisujesz e. Skąd wiesz, że (1+t)1/t→e przy t→0? No i pozostaje ciągłość logarytmu. Ale możesz się tym nie przejmować.
2 maj 14:53