Pochodna z definicji Szkolniak: Witam, próbowałem ostatnio wyznaczyć pochodną funkcji y=a^x (a>0) z definicji, i napotkałem problem, ponieważ nie do końca wiem jak to zrobić. Moja próba:

	ax+h−ax		ax(ah−1)		ah−1
f'(x)=limh−>0(		)=limh−>0(		)=ax*limh−>0(		)
	h		h		h

I dalej nie wiem co robić. Próbowałem coś kombinować z podstawą 'e', ale koniec końców wyszło mi na to samo. Mógłbym prosić o wytłumaczenie lub podpowiedź?

Harry: Zacznij od zamiany na funkcję z e: a^x = e^ln(ax) = e^xln(a)

	e(x−h)ln(a) − exln(a)
limh→0		= ...
	h

a7: https://matematykaszkolna.pl/forum/122957.html w linku masz podpowiedź, robimy podstawienie a^h−1=t czyli t+1=a^h czyli h=log_a(t+1) oraz t=a^h−1→0 przy h→0

	ax0(ah−1)		ax0*t
limh→0		=limh→0		=
	h		lga(t+1)

	ax0*1		ax0*1
limh→0		=limh→0		=
	1t*lga(t+1)		*lga(t+1)1t

	ax0		ax0
=		=		=ax0*lna
	lgae		lne/lna

a7: PS. nie wiem czy to jest na pewno dobrze...

Szkolniak: Spróbowałem z podstawieniem jak u Ciebie a7 i wyszlo chyba tak samo Mam tylko jedno pytanie: e^h*lna−1=t ⇒ h=ln_a(1+t) Wtedy pochodna:

	t		1
ax*limh−>0		=ax*limt−>0		=
	lna(1+t)		1   *lna(1+t) t

	1		1
=ax*limt−>0		=ax*limt−>0		=...
	lna(1+t)1t		lnae

I tutaj rozumiem że mogę po prostu 'opuscic' granicę, ponieważ nie występuje w niej już w ogóle 't'?

a7: no chyba na pewno tak, ale lepiej jeszcze jak zabierze głos ktoś kto wie zupełnie na pewno

jc: A teraz jeszcze pokaż, że granica (1+1/t)^t istnieje oraz, że logarytm jest funkcja ciągłą... Wydaje się, że na tym etapie trudno przeprowadzić dowód krótko i ściśle.

Szkolniak: jc w takim razie jest to dobra droga i jedyna? Czy jest jeszcze jakaś bardziej optymalna?

jc: Zakładamy, że 0<x<1/2.

	1		1
(1+		)n+1 < e < (1+		)n
	n+1		n−1

Dla danego x znajdujemy n takie, że 1/(n+1) < x < 1/n Mamy

	x		1		1		x
1+		< 1+		< ex < 1+		> 1+
	1+x		n+1		n−1		1−2x

1		ex−1		1
	<		<
1+x		x		1−2x

Granica w x=0+ jest oczywista.

e−1−1		ex−1
	=		, granica w x=0− jest taka sama.
−x		x

jc: Szkolniak, najlepiej zostawić to bez dowodu. Jak się dowiesz, że e^x=1+x+x²/2!+x³/3! + ... wszystko stanie się proste. Pokazanie, że e^x (szereg), to właśnie e^x (potęga) też nie jest trudne.

jc: Oj, tam wyżej napisałem > zamiast <.

Szkolniak: W szkole średniej nie ma nawet granicy z 'e', więc też krążę w tym temacie jakby na własną rękę, ale spróbuję zrozumieć to co napisałeś o 13:53. W takim razie na ten moment mogę zostawić dowód bez uzasadnienia, o jakim pisałeś, i jest on okej?

jc: Parę rzeczy zmień. ln oznacza logarytm naturalny, powinno być raczej log_a. Na pewno nie powinno być lim, tam gdzie w miejsce (1+t)^1/t wpisujesz e. Skąd wiesz, że (1+t)^1/t→e przy t→0? No i pozostaje ciągłość logarytmu. Ale możesz się tym nie przejmować.