dowod f123: Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k⁸m² − k²m⁸ jest podzielna przez 36.

a7: można to zapisać tak k⁸m²−k²m⁸=k²m²(k+m)(k−m)(k²+m²+km)(k²+m²−km) teraz jeśli k i m to liczby nieparzyste to k+m = k−m są liczbami parzystymi czyli podzielnymi przez 2 czyli ich iloczyn będzie podzielny przez 4 (tak samo jeśli k i m to liczby parzyste) teraz trzebaby może jakoś wykazać że "reszta" jest podzielna przez 9 ale co dalej nie wiem

f123: Dobre pytanie.

a7: przy rozbiciu na przypadki wychodzi, że 1)jeśli jedna jest parzysta,a druga nie parzysta podzielna przez 3 to k²m² jest zawsze podzielne przez 36 2)jeśli jedna jest parzysta,a druga nieparzysta i niepodzielna przez 3 tok²m² podzielne przez4 i k−m lub k+m podzielne przez 9, gdyż...... 3) jeśli obie są nieparzyste z czego jedna podzielna przez trzy to k²m² jest podzielne przez 9 , a k−m lub k+m jest zawsze podzielne przez 4 4)jeśli obie są nieparzyste i niepodzielne przez 3 to k−m lub k+m jest zawsze podzielne przez 12, , a k²+m²−km jest zawsze podz. przez 3 cn.w. może jest to trop, ale brakuje jeszcze części uzasadnień

Kubus: Cos podobne do tego: https://matematykaszkolna.pl/strona/5164.html

wredulus_pospolitus: k²m²(k⁶ − m⁶) jakie reszty przy dzieleniu przez 6 mogą mieć liczby k² i m²: mogą mieć resztę 1 lub 4 (gdy k,m nie jest podzielne przez 3 to k²,m² daje resztę 1 z dzielenia przez 3 ... więc przez 6 daje resztę 1 lub 4) mogą dać resztę 0 (gdy są podzielne przez 6 −−− ale to banał) mogą dać resztę 3 (gdy są podzielne przez 3, ale nie są podzielne przez 6) więc mamy 6 możliwości do rozpatrzenia (załóżmy, że k > m) 1) k² −−− reszta 1 ; m² −−− reszta 1 wtedy (k⁶ − m⁶) daje resztę 1−1 = 0 podzielność 2) k² −−− reszta 3 ; m² −−− reszta 1 wtedy (k⁶ − m⁶) daje resztę 3−1 = 2 .... k²m² daje resztę 3*1 = 3 ... 3 * 2 = 6 podzielność 3) k² −−− reszta 3 ; m² −−− reszta 3 wtedy (k⁶ − m⁶) daje resztę 3−3 = 0 podzielność 4) k² −−− reszta 4 ; m² −−− reszta 1 wtedy (k⁶ − m⁶) daje resztę 4−1 = 3 .... k²m² daje resztę 4*1 = 4 ... 3 * 4 = 12 podzielność 5) k² −−− reszta 4 ; m² −−− reszta 3 wtedy k²m² daje resztę 4*3 = 12 podzielność 6) k² −−− reszta 4 ; m² −−− reszta 4 wtedy (k⁶ − m⁶) daje resztę 4−4 = 0 podzielność wniosek i koniec